Zależności w równoległoboku

magik100 · Post autor: **magik100** » 18 paź 2004, o 16:48

Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i CD równoległoboku ABCD.:
a) Wykazać, że punkty K i L przecięcia przekątnej BD odpowiednio pzez proste AM i AN dzielą tę przekątną na 3 różne częsci...
b) Jaką czescia pola rownoległoboku ABCD jest pole pięciokąta KLMNC???

Błagam o rozwiązanie, bo rysunek całe szczęscie mi sie udało zrobić, ale nic z niego nie wynika....

Yavien · Post autor: **Yavien** » 20 paź 2004, o 11:33

dzielą na trzy równe części.
Ten pięciokąt ma pole równe 1/3 pola równoległoboku

magik100 · Post autor: **magik100** » 20 paź 2004, o 16:43

Sorki, oczywiście literówka, 3 równe części, ale dlaczego?
plz jakieś rozwiązanie...

Arek · Post autor: **Arek** » 20 paź 2004, o 22:14

Wiem, że moje rozwiązanie firmowe nie jest, ale można to z afinicznej pociągnąć. Wiemy, że przekształcenie afiniczne przekształca:

- proste równoległe w równoległe
- proste przecinające się w przecinające się

i dodatkowo:

- jest różnowartościowe
- zachowuje niezmienniczość stosunku wektorów

Pytamy się zatem: czy skoro dany jest nasz równoległobok, w którym:

- boki są parami równoległe, a więc po przekształceniu dalej takie będą
- M i N dalej z niezmiennioczności stosunku wektorów podzielą BC i CD na pół

Zatem wszystkie warunki są spełnione.

A skoro wiemy, że przekształcenie afniczne nie zmienia podziału wektórów, to nie zmieni podziału odcinka BD.

Wiemy, że kwadrat, z zaznaczonymi dwoma środkami boków sąsiednich i odpowiednimi odcinkami jest równoważny afinicznie z danym równoległobokiem. A dla kwadratu ta teza jest oczywista.

Mam rację? Piszcie, bo sam jestem ciekaw...

Yavien · Post autor: **Yavien** » 21 paź 2004, o 02:05

Zgadzam sie, ze o ile dla kwadratu sie zgadza to moge sobie rysunek kopnac afinicznie i tez sie bedzie zgadzalo. A jak wykazac, bo nie jest to az takie oczywiste, nawet dla kwadratu?

Mam dowod bez kwadratu:
Poprowadzmy przekatna AC rownolegloboku ABCD. Przekatne AC i BD przecinaja sie w punkcie S. Latwo wykazac, ze S dzieli przekatne na polowy AS=SC i DS=SB.

[teraz mnie wyganiaja, ale chodzi o srodkowe w ABC i ADC - srodkowe dziela sie w stosunku 2:1 liczac od wierzcholka - stad bedzie np DL=2*LS = 2*SK = KB = LK

przy rownosci DL=LK=KB uzasadnienie,ze pole pieciakata jest 1/3 jest juz proste.]

magik100 · Post autor: **magik100** » 21 paź 2004, o 16:33

Hej, ja już sam se poradziłem z tym dowodem że dzieli na 3 równe częsci, po prostu zauważyłem 3 przystające trójkąty, których podstawami są te 1/3cie przekątnej, po tym jak dorysowałem sobie przedłużenie odcinka lączącego środki wspominanych w tresci boków...
Nadal nie wiem jednak jak wykazać ze to pole to 1/3 równoległoboku, a kilka ostatnich postów jest nie na mój poziom, bo nic z nich nie jarze... Musi byc łatwiejszy sposób, niz jakieś przekształcenia afi.... cośtam

Arek · Post autor: **Arek** » 21 paź 2004, o 19:25

Skorzystaj z analitycznej: obierz za współrzędne: A(0,0), B(1,0), C(0,a), D(1,a), gdzie a>0 jest dowolną rzeczywistą stałą, zapewniającą, że mamy ogólność rozważań... Piszesz równiania odpowiednich prostych, wyznaczasz odpowiednie punkty przecięcia i masz...