3 zadanka trapez, trapez i romb

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
ddiddilinka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 maja 2006, o 17:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy

3 zadanka trapez, trapez i romb

Post autor: ddiddilinka »

1. Podstawy trapezu prostokątnego mają długość 1cm i 3cm. Oblicz długość ramion trapezu, jeśli można w niego wpisać okrąg.


2.Dłuższa z podstaw trapezu prostokątnego ma długość 6cm. Promień okręgu wpisanego jest równy 1 cm. Oblicz długość drugiej podstawy trapezu.

3.w romb o boku długości 2 cm ikącie ostrym 60 ° wpisano koło. Oblicz pole tego koła.
RATUNKU!!!
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

3 zadanka trapez, trapez i romb

Post autor: Tristan »

1. Oznaczmy ramiona jako a i b, gdzie b jest dłuższym ramieniem. Z twierdzenia o okręgu wpisanych w czworokąt mamy, że 1+3=a+b, czyli b=4-a. Zarazem, z twierdzenia Pitagorasa mamy związek \(\displaystyle{ a^2+2^2=b^2}\) i teraz podstawiając do tego \(\displaystyle{ b=4-a}\) wyliczamy, że \(\displaystyle{ a=\frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b=\frac{5}{2}}\).
2. Szukaną podstawę oznaczmy jako a. Dłuższe ramię jako b. Mamy, że a+6=2+b, więc b=a+4. Z tw. Pitagorasa mamy, że \(\displaystyle{ (6-a)^2+2^2=b^2}\). Teraz podstawiając otrzymamy, że \(\displaystyle{ a=\frac{6}{5}}\).
3. W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów na pole rombu o podstawie a, wysokości h i kącie alfa. Pole rombu może przedstawić za pomocą \(\displaystyle{ P=a^2 \sin =ah}\), skąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h=a \sin }\). Podstawiając a=2 oraz wyliczając sinusa 60 stopni, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h= \sqrt{3}}\). Oczywiście długość promienia koła wpisanego w romb to połowa długości wysokości tego rombu, więc \(\displaystyle{ r= \frac{ \sqrt{3}}{2}}\). Z tego już wyliczamy, że pole koła to \(\displaystyle{ P_{k}=\pi r^2= \frac{3}{4} \pi}\).
ODPOWIEDZ