kwadrat o boku 1, jednakowa odległość od wierzch.

[piotrek9299]

Na płaszczyźnie dany jest kwadrat o boku 1. Ile punktów płaszczyzny leży w jednakowej odległości od dwóch sąsiednich wierzchołków kwadratu i w odległości 1 od jednego z pozostałych wierzchołków?

[pawels]

Szukane punkty muszą leżeć na okręgach o środkach w dwóch sąsiednich wierzchołkach i promieniu 1, oraz na symetralnej odcinka o końcach w dwóch pozostałych wierzchołkach. Skoro środek każdego w tych okręgów leży wewnątrz drugiego to mają oczywiście dokładnie dwa punkty wspólne- z symetrii widać, że oś potęgowa tych dwóch okręgów pokrywa się z symetralną odcinka łączącego ich środki, która jest jednocześnie symetralną równoległego boku kwadratu.

Pokazaliśmy, że są co najwyżej dwa takie punkty, a potem że są co najmniej dwa. Oznacza to, że są dokładnie dwa.