Ramiona trapezu są zawarte w prostych prostopadłych...

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1114
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 157 razy

Ramiona trapezu są zawarte w prostych prostopadłych...

Post autor: Mruczek »

Ramiona trapezu są zawarte w prostych prostopadłych. Wykaż, że suma kwadratów ramion jest równa kwadratowi różnicy podstaw.

Jeżeli przedłużymy ramiona trapezu to otrzymamy dwa trójkąty prostokątne. Niech:
a - krótsza podstawa trapezu,
b - dłuższa podstawa trapezu,
c, d - ramiona trapezu
e, f - przyprostokątne "małego" trójkąta prostokątnego.

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ c^{2} + d^{2}=(b-a)^{2}}\)
\(\displaystyle{ c^{2} + d^{2}=b^{2}+ a ^{2} -2ab}\)
Wtedy z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{2} + f^{2} = a^{2} \\ (e+c)^{2}+ (f+d) ^{2}=b ^{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{2} + f^{2} = a^{2} \\ e^{2}+ c ^{2} +2ce +f ^{2} + d^{2} +2df =b ^{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{2} + f^{2} = a^{2} \\ c ^{2} + d^{2} =b ^{2}- e^{2}-2ce -2df- f ^{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ c ^{2} + d^{2}=b ^{2}- a^{2}-2ce -2df}\)

Doszedłem do tego momentu. Próbowałem też z tw. Talesa ale nie bardzo mi wychodzi.
Proszę o pomoc.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Ramiona trapezu są zawarte w prostych prostopadłych...

Post autor: anna_ »

Z podobieństwa trojkątów
\(\displaystyle{ \frac{e}{a} = \frac{e+c}{b}\\
e+c= \frac{eb}{a}\\
c=\frac{eb}{a}-e\\
c=\frac{eb-ea}{a}\\
c=\frac{e(b-a)}{a}}\)



\(\displaystyle{ \frac{f}{a} = \frac{f+d}{b}\\
f+d= \frac{fb}{a}\\
d=\frac{fb}{a}-f\\
d=\frac{fb-fa}{a}\\
d=\frac{f(b-a)}{a}}\)


\(\displaystyle{ c^2+d^2=(\frac{e(b-a)}{a})^2+(\frac{f(b-a)}{a})^2= \frac{e^2(b-a)^2}{a^2} + \frac{f^2(b-a)^2}{a^2}= \frac{e^2(b-a)^2+f^2(b-a)^2}{a^2}= \frac{(b-a)^2(e^2+f^2)}{a^2}= \frac{(b-a)^2 \cdot a^2}{a^2} = (b-a)^2}\)
ODPOWIEDZ