Podobieństwo trójkątów, (nie)utrata ogólności

patry93 · Post autor: **patry93** » 11 lis 2009, o 19:13

Witam.

Pytanie chciałbym odnieść do ogółu zadań, ale posłużę się przykładem:
Niech \(\displaystyle{ AA_1 , BB_1 , CC_1}\) oznaczają wysokości w trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\). Wiadomo, że trójkąt ten jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ A_1 B_1 C_1}\). W zadaniu należy obliczyć kąty trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), ale jest to w tej chwili nieistotne.
Rozumiem, że w tym przypadku nie jest zachowana kolejność proporcjonalności boków, tzn. nie musi być akurat \(\displaystyle{ AB : A_1 B_1 = AC : A_1 C_1}\).
Robiąc rysunek do zadania, od razu widać jaka jest poprawna kolejność w proporcjach, bo jeśli np. jakiś bok będzie najkrótszy w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) to siłą rzeczy musi być proporcjonalny również do najkrótszego boku w trójkącie \(\displaystyle{ A_1 B_1 C_1}\). Lecz dziwne troszkę by było, gdyby od rysunku miał zależeć cały tok dalszego rozumowania i liczenia
Hm, ale przechodząc już do podstawowego pytania - czy można, na podstawie rysunku, bez utraty ogólności założyć kolejność w proporcjach?

Z góry dziękuję.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 lis 2009, o 13:09

Musisz brać stosunki odpowiednich boków (cokolwiek to oznacza, bo nie dla wszystkich oznacza to samo - jedni biorą stosunek boków jednego = stosunkowi boków z drugiego; inni stosunek boku z 1 do boku z 2 = stosunkowi boku z 1 przez bok z 2). Może da się to zrozumieć - ale w skrócie tak mi się napisało.

patry93 · Post autor: **patry93** » 12 lis 2009, o 17:23

Hm... "odpowiednich" rozumiem jako ustalony porządek w kolejności wypisywania tych stosunków, ale mnie raczej rozchodzi się o coś w stylu: "pierwszy" bok w trójkącie ABC niech będzie AB i czy jako "pierwszy" bok w trójkącie \(\displaystyle{ A_1 B_1 C_1}\) mogę wziąć, bez utraty ogólności, np. bok \(\displaystyle{ C_1 A_1}\)? A potem już po kolei, tzn. "drugi" w ABC, to BC, natomiast "drugi" w \(\displaystyle{ A_1 B_1 C_1}\), to \(\displaystyle{ A_1 B_1}\).

Co do "rodzaju" stosunków -

jedni biorą stosunek boków jednego = stosunkowi boków z drugiego; inni stosunek boku z 1 do boku z 2 = stosunkowi boku z 1 przez bok z 2

Nie ma to chyba większego znaczenia?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 12 lis 2009, o 18:42

Co do znaczenia - to nieistotne - po to podawałem.

Co do uogólnienia - to ważnym jest jakie stosunki piszesz.

Raczej te - ,,z pierwszego przez z drugiego" - i niestety musisz wziąć konkretny z drugiego (czyli leżący naprzeciw odpowiedniego kąta); jak zostały nazwane to już inna sprawa.