Będę wdzięczny za pomocWyprowadź wzór na długość środkowych trójkąta w zależności od długości jego boków. Wskazówka: środkowa trójkąta to połowa przekątnej w odpowiednim równoległoboku.
długośc środkowych trójkąta
-
marian
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 31 paź 2004, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 5 razy
długośc środkowych trójkąta
Witam, mam problem z następującym zadaniem:
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 845
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
długośc środkowych trójkąta
\(\displaystyle{ \Delta ABC}\) - trójkąt dowolny
a,b,c - boki trójkąta
x - środkowa poprowadzona z wierzchołka C (na bok c)
D - środek boku AB
\(\displaystyle{ \alpha - \angle ADC}\)
korzystamy z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ \left{ b^{2}=x^{2}+\frac{c^{2}}{4}-xc cos\alpha\\a^{2}=x^{2}+\frac{c^{2}}{4}-xc cos(180^{o}-\alpha)}\)
Dodajemy układ stronami:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=2x^{2}+\frac{c^{2}}{2}-xc(cos\alpha-cos\alpha)}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{c^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}\)
Każda środkowa wyraża się takim wzorem, gdzie c to bok, na który jest opuszczona.
a,b,c - boki trójkąta
x - środkowa poprowadzona z wierzchołka C (na bok c)
D - środek boku AB
\(\displaystyle{ \alpha - \angle ADC}\)
korzystamy z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ \left{ b^{2}=x^{2}+\frac{c^{2}}{4}-xc cos\alpha\\a^{2}=x^{2}+\frac{c^{2}}{4}-xc cos(180^{o}-\alpha)}\)
Dodajemy układ stronami:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=2x^{2}+\frac{c^{2}}{2}-xc(cos\alpha-cos\alpha)}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2}=a^{2}+b^{2}-\frac{c^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}\)
Każda środkowa wyraża się takim wzorem, gdzie c to bok, na który jest opuszczona.