Styczne w okręgu - dowód

[coldpeer]

Witam,

Nie mogę poradzić sobie z pewnym zadaniem, byłbym wdzięczny za wytłumaczenie krok po kroku sposobu jego rozwiązania, a konkretnie dowód. Bardzo dziękuję.

Proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są styczne do okręgu. Uzasadnij, że \(\displaystyle{ |PQ| = |AB|}\). Rysunek do zadania wygląda tak:

AU

xxs4kx6fg2etb7xbs9ja.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 101 razy

Przepraszam za jakość, ale jest jaka jest. Pomiędzy "E" i "C" jest "Q", które znajduje się tam, gdzie przecinają się proste "k" i "m".
Za pomoc raz jeszcze dziękuję.

Pozdrawiam,
coldpeer

[anna_]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/5fce99e78b8/

Trójkąt \(\displaystyle{ DBP}\) jest równoramienny.
Trójkąt \(\displaystyle{ ACP}\) jest równoramienny.
Kąty zaznaczone takimi samymi kolorami są sobie równe.

Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ DBP}\) i \(\displaystyle{ CO_1A}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{|DB|} = \frac{R}{|AC|} \Rightarrow |DB|= \frac{x|AC|}{R}}\)

Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ DBO_2}\) i \(\displaystyle{ ACP}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{|DB|} = \frac{y}{|AC|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{\frac{x|AC|}{R}} = \frac{y}{|AC|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{rR}{x} = y}\)
\(\displaystyle{ rR=xy}\)

Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ FQO_2}\) i \(\displaystyle{ QCO_1}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{y-x+z} = \frac{z}{R}}\)
\(\displaystyle{ rR=z(y-x+z)}\)
\(\displaystyle{ xy=yz-zx+z^2}\)
\(\displaystyle{ xy-yz+zx-z^2=0}\)
\(\displaystyle{ y(x-z)+z(x-z)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-z)(y+z)=0}\)
\(\displaystyle{ x-z=0 \ lub \ y+z=0}\)
\(\displaystyle{ x=z \ lub \ y=-z}\)

\(\displaystyle{ |AB|=y+x}\)
\(\displaystyle{ |PQ|=y+z=y+x}\)

\(\displaystyle{ |AB|=|PQ|}\)

[coldpeer]

Dziękuję bardzo, nmn.

[anna_]

[rafalafar]

Kąty zaznaczone takimi samymi kolorami są sobie równe.

skąd to wiadomo?

[kruszewski]

Można i tak

[anna_]

Czworokąt \(\displaystyle{ DO_2BP}\) ma dwa kąty proste.
\(\displaystyle{ | \sphericalangle DO_2B|=\alpha}\)
\(\displaystyle{ | \sphericalangle DPB|=180^o-\alpha}\)
\(\displaystyle{ | \sphericalangle CPA|=180^o-| \sphericalangle DPB|=180^o-180^o+\alpha=\alpha}\)
\(\displaystyle{ | \sphericalangle CO_1A|=180^o-| \sphericalangle CPA|=180^o-\alpha}\)

\(\displaystyle{ | \sphericalangle EO_1C|=\beta}\)
\(\displaystyle{ | \sphericalangle EQC|=180^o-| \sphericalangle EO_1C|=180^o-\beta}\)
\(\displaystyle{ | \sphericalangle FQD|=180^o-| \sphericalangle EQC|=180^o-(180^o-\beta)=\beta}\)