trapez prostokątny
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
trapez prostokątny
Niech \(\displaystyle{ z}\) oznacza różnicę długości podstaw trapezu, \(\displaystyle{ c, d}\) - odpowiednio dłuższe i krótsze ramię tego trapezu.
Poprowadźmy z wierzchołka krótszej podstawy trapezu należącego do ramienia \(\displaystyle{ c}\) wysokość (długości \(\displaystyle{ d}\)) opuszczoną na dłuższą podstawę. Rozważmy powstały trójkąt prostokątny.
Mamy w nim \(\displaystyle{ d=z\tg\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ c=\frac{z}{\cos\alpha}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym trapezu.
Warto teraz wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) mając daną wartość \(\displaystyle{ \tg\alpha}\). Mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=\tg\alpha\cos\alpha}\), skąd \(\displaystyle{ \sin^2\alpha=\tg^2\alpha\cos^2\alpha}\). Dalej, \(\displaystyle{ 1-\cos^2\alpha=\tg^2\alpha\cos^2\alpha}\), tj. \(\displaystyle{ 1=(\tg^2\alpha+1)\cos^2\alpha}\), więc \(\displaystyle{ \cos^2\alpha=\frac{1}{\tg^2\alpha+1}}\).
Uwzględniając teraz, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym, mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha>0}\) i wobec tego \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{\tg^2\alpha+1}}}\).
Ostatecznie, mamy \(\displaystyle{ c-d=z\sqrt{\tg^2\alpha+1}-z\tg\alpha=z(\sqrt{\tg^2\alpha+1}-\tg\alpha)}\).
Z założenia jest \(\displaystyle{ z=4,5\ cm}\) oraz \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{4}{3}}\). Zatem \(\displaystyle{ c-d=4,5\ cm\cdot(\frac{5}{3}-\frac{4}{3})=4,5\ cm\cdot\frac{1}{3}=1,5\ cm}\).
Poprowadźmy z wierzchołka krótszej podstawy trapezu należącego do ramienia \(\displaystyle{ c}\) wysokość (długości \(\displaystyle{ d}\)) opuszczoną na dłuższą podstawę. Rozważmy powstały trójkąt prostokątny.
Mamy w nim \(\displaystyle{ d=z\tg\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ c=\frac{z}{\cos\alpha}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym trapezu.
Warto teraz wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) mając daną wartość \(\displaystyle{ \tg\alpha}\). Mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=\tg\alpha\cos\alpha}\), skąd \(\displaystyle{ \sin^2\alpha=\tg^2\alpha\cos^2\alpha}\). Dalej, \(\displaystyle{ 1-\cos^2\alpha=\tg^2\alpha\cos^2\alpha}\), tj. \(\displaystyle{ 1=(\tg^2\alpha+1)\cos^2\alpha}\), więc \(\displaystyle{ \cos^2\alpha=\frac{1}{\tg^2\alpha+1}}\).
Uwzględniając teraz, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym, mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha>0}\) i wobec tego \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{\tg^2\alpha+1}}}\).
Ostatecznie, mamy \(\displaystyle{ c-d=z\sqrt{\tg^2\alpha+1}-z\tg\alpha=z(\sqrt{\tg^2\alpha+1}-\tg\alpha)}\).
Z założenia jest \(\displaystyle{ z=4,5\ cm}\) oraz \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{4}{3}}\). Zatem \(\displaystyle{ c-d=4,5\ cm\cdot(\frac{5}{3}-\frac{4}{3})=4,5\ cm\cdot\frac{1}{3}=1,5\ cm}\).