wykazać, że równoległobok jest rombem

[rzuczek]

Byłabym wdzięczna, gdyby ktoś mi pomógł zrobić zadanie. Oto treść:
Dany jest równoległobok ABCD o kącie między bokami 60 stopni. Stosunek kwadratów długości przekatnych jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Wykaż, że ten równoległobok jest rombem.

[anna_]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/f54d313d7bc/

Wyznaczam wysokość równoległoboku
\(\displaystyle{ sin60^o= \frac{h}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{h}{b}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{b \sqrt{3} }{2}}\)

Wyznaczam \(\displaystyle{ e}\)
\(\displaystyle{ \frac{f^2}{e^2} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ e=f \sqrt{3}}\)

Wyznaczam pole
\(\displaystyle{ P=ah=a \cdot \frac{b \sqrt{3} }{2} = \frac{ab \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{ef sin\alpha}{2}= \frac{f \sqrt{3} \cdot f \cdot sin\alpha }{2}= \frac{f^2 \sqrt{3} sin\alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ab \sqrt{3} }{2}=\frac{f^2 \sqrt{3} sin\alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ ab=f^2sin\alpha}\)

Z Pitagorasa dla trójkąta FBD
\(\displaystyle{ f^2-(a- \frac{1}{2} b)^2=h^}\)2
Z Pitagorasa dla trójkąta AGC
\(\displaystyle{ e^2-(a+ \frac{1}{2} b)^2=h^2}\)

\(\displaystyle{ f^2-(a- \frac{1}{2} b)^2=e^2-(a+ \frac{1}{2} b)^2}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ e=f \sqrt{3}}\) i uproszczeniach wyjdzie
\(\displaystyle{ ab=f^2}\)

\(\displaystyle{ ab=f^2sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ ab=f^2}\)
\(\displaystyle{ f^2sin\alpha=f^2}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ \alpha=90^o}\)

Równoległobok,który ma prostopadłe przekątne jest rombem