Problem z Dolnośląskich Meczy Matematycznych 2005/06

[mcmcjj]

Jak to zrobić ?

Na Morzu Geometrycznym jest 5 wysp: A, B, C, D, E. Odległości między niektórymi wynoszą:

|AB| = |BC| = |AC| = 3 km
|CD| = |DE| = |EC| = 8 km
|BD| = 11 km

Ile wynosi odległość |AE| ?

[Sherlock]

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ |BC|+|CD|=3+8=11=|BD|}\)
Punkty B, C i D są współliniowe (spróbuj zastosować nierówność trójkąta dla trójkąta BCD). Na odcinku BD zbuduj teraz odpowiednie trójkąty równoboczne. Mniemam, że są dwa rozwiązania tego zadania (w zależności jak narysuję te trójkąty)

[mcmcjj]

Chodzi o takie 2 przypadki ?

1. B, C, D - wspóliniowe (D-d: |BC|+|CD| = 3+8 = |BD|)
2. Punkty BCD tworzą trójkąt (D-d: z nierówności trójkąta)

Dobrze piszę ?

[Sherlock]

2. Punkty BCD tworzą trójkąt (D-d: z nierówności trójkąta)

Odcinki |BC|, |CD|, |BD| nie mogą tworzyć trójkąta, właśnie na podstawie nierówności trójkąta.
Chodziło mi o te dwa przypadki:

W drugim przypadku liczyłbym z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ |AC|^2=3^2+8^2-2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot cos60^0}\)
nie wiem tylko jaki to poziom konkursu

[mcmcjj]

Kurcze, czemu wychodzi mi, że te 3 nierówności są spełnione ?

\(\displaystyle{ \left| BC\right| \le \left|CD \right| +\left|BD \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| CD\right| \le \left|BC \right| +\left|BD \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| BD\right| \le \left|BC \right| +\left|CD \right|}\)

[Sherlock]

\(\displaystyle{ \left| BD\right| \le \left|BC \right| +\left|CD| \right}\)
\(\displaystyle{ 11 \le 3+8}\)
Mamy równość więc, boki o długościach 3 i 8 "leżą" na boku o długości 11, punkt C zawiera się w odcinku BD.

[mcmcjj]

Aha, teraz rozumiem wszystko.

-- 4 lis 2009, o 16:37 --

W drugim przypadku liczyłbym z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ |AC|^2=3^2+8^2-2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot cos60^0}\)

Jednak nie do końca rozumiem - skąd to 60 stopni się wzięło, który to kąt ?-- 4 lis 2009, o 21:31 --Raz będzie |AE| = 11, a w drugim przypadku |AE| = 7 ?