Powtórki do matury - podobieństwo figur, problem

[romciu]

Witam!
Przygotowywuję się do matury 2010 - orłem jednak nie jestem.
Utknąłem przy powtórkach z 1 klasy szkoły średniej na poniższym zadaniu:

Prostokąt ABCD jest podobny do prostokąta KLCD, gdzie punkty K i L są odpowiednio środkami boków AD i BC. Oblicz stosunek długości boku KL do długości boku LC.

Podpowiedź ze zbioru zadań:
Prostokąt należy podzielić równoległą do boku krótszego, z czego otrzymujemy proporcję:

\(\displaystyle{ \frac{|KL|}{ \frac{|LC|}{2} } = \frac{|BC|}{|AB|}}\)

wynik zaś to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) - o ile podpowiedzi są dla mnie jasne to niestety nie mam pojęcia jak przeprowadzić obliczenie

[anna_]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/0b15f536f1a/

Prostokąt KLCD
krótszy bok to \(\displaystyle{ y}\)
dłuższy bok to \(\displaystyle{ x}\)

Prostokąt ABCD
krótszy bok to \(\displaystyle{ x}\)
dłuższy bok to \(\displaystyle{ 2y}\)

Z podobieństwa kwadratów
\(\displaystyle{ \frac{krotszy \ bok \ prostokata KLCD}{dluzszy \ bok \ prostokata KLCD} = \frac{krotszy \ bok \ prostokata \ ABCD}{dluzszy \ bok \ prostokata \ ABCD}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} = \frac{x}{2y} \\
x^2=2y^2\\
x=y \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|KL|}{|LC|} = \frac{x}{y} \\
\frac{|KL|}{|LC|} = \frac{y \sqrt{2} }{y}\\
\frac{|KL|}{|LC|} = \sqrt{2}}\)