Okrag wpisany w trójkąt. Długość trzeciego boku.

AZS06 · Post autor: **AZS06** » 31 paź 2009, o 13:40

Boki trójkąta ABC mają długość 6 i 10, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(\displaystyle{ r = \frac{4\sqrt{14}}{7}}\) Wyznacz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 paź 2009, o 14:04

Bierzesz jeden wzór na pole: \(\displaystyle{ S=pr}\), bierzesz drugi wzór na pole (Herona) \(\displaystyle{ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), gdzie w obu wzorach \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\), przyrównujesz i liczysz.

AZS06 · Post autor: **AZS06** » 31 paź 2009, o 14:50

Właśnie tym sposobem już próbowałem, ale gubię się chyba w obliczeniach.

Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ \frac{16 + c}{2} * \frac{4 \sqrt{14}}{7} = \sqrt{(8 + \frac{c}{2})(8 + \frac{c}{2} - 6)(8 + \frac{c}{2} - 10)(8 + \frac{c}{2} - c)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{14}(16 + c)}{7} = \sqrt{(8 + \frac{c}{2})(8 - \frac{c}{2})(\frac{c}{2} + 2)(\frac{c}{2} - 2)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{56(16 + c)^2}{49} = (8 + \frac{c}{2})(8 - \frac{c}{2})(\frac{c}{2} + 2)(\frac{c}{2} - 2)}}\)

I dalej licząc wychodzi wielomian czwartego stopnia..
Czy aby na pewno tym sposobem należy rozwiązać to zadanie ??

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 paź 2009, o 14:57

\(\displaystyle{ 8+\frac{c}{2}=\frac{16+c}{2}}\), skracasz i się robi 3 stopień. Jeszcze można trochę inaczej oznaczyć odpowiednie odcinki (zrobię rysunek to wrzucę), a poza tym nie wydaje mi się, aby był prostszy sposób

(z tw. o odcinkach stycznych) i wtedy masz boki 6, 10, 16-2x, a potem tak jak wcześniej.

AZS06 · Post autor: **AZS06** » 31 paź 2009, o 17:15

Więc licząc to dalej:

\(\displaystyle{ \frac{56(16 + c)^2}{49} = (8 + \frac{c}{2})(8 - \frac{c}{2})(\frac{c}{2} + 2)(\frac{c}{2} - 2)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{56}{49} *(16 + c)(16 + c) = (8 + \frac{c}{2})(8 - \frac{c}{2})(\frac{c}{2} + 2)(\frac{c}{2} - 2)} /*2}\)

\(\displaystyle{ \frac{112}{49} *(16 + c)(16 + c) = (16 + c)(8 - \frac{c}{2})(\frac{c}{2} + 2)(\frac{c}{2} - 2)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{112}{49} *(16 + c)= (8 - \frac{c}{2})(\frac{c}{2} + 2)(\frac{c}{2} - 2)}}\)

A dalej ?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 paź 2009, o 17:53

Jak trochę poprzekształcasz to wyjdzie
\(\displaystyle{ 7c^3-112c^2+16c+3840=0}\)
a to ma pierwiastek całkowity, wystarczy go znaleźć.

anna_ · Post autor: **anna_** » 31 paź 2009, o 19:06

A nie prościej będzie zastosować podstawowy wzór na pole trójkąta?

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/b7b80e4dd36/

\(\displaystyle{ 16-2x}\) - III bok

\(\displaystyle{ p= \frac{10+6+(6-x+10-x)}{2} =16-x}\)

\(\displaystyle{ P=pr=(16-x)\frac{4\sqrt{14}}{7}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{|AB|h}{2}=5h}\)
Z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ 6^2=y^2+h^2}\)
\(\displaystyle{ (16-2x)^2=(10-y)^2+h^2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (16-x)\frac{4\sqrt{14}}{7}=5h \\ 6^2=y^2+h^2 \\(16-2x)^2=(10-y)^2+h^2\end{cases}}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 paź 2009, o 20:13

Prościej? 3 zmienne masz, w dodatku z kwadratami, na jedno wychodzi

anna_ · Post autor: **anna_** » 31 paź 2009, o 20:33

Ale otrzymam równanie II a nie III stopnia.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 paź 2009, o 21:43

Ty to liczyłaś, czy na oko Ci się wydaje, że będzie łatwo? Bo ja doszedłem do czegoś takiego (a raczej mathematica doszła bo mi by sie tego nie chciało liczyć)
\(\displaystyle{ \begin{cases}h=\frac{4\sqrt{14}}{35}(16-x)\\32 x^2 - 1024 x+ 175y^2+1892=0\\ - 668 x^2+ 10176 x +175 y^2 - 3500 y-19108=0\end{cases}}\)
i co teraz z tym zrobić? A może jest jakiś prostszy sposób?

anna_ · Post autor: **anna_** » 1 lis 2009, o 00:37

Ok, w takim razie jak rozwiążesz to równanie III stopnia, które podałeś?
I czemu zakładasz, że ma pierwiastek całkowity?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 1 lis 2009, o 10:36

Nie zakładam, ale w tego typu równaniach na początku zazwyczaj sprawdza się pierwiastki całkowite/wymierne, tutaj w dodatku możemy sobie trochę ułatwić zadanie, bo z nierówności trójkąta mamy 4<c<16, w dodatku c nie może być nieparzyste, więc do sprawdzenia mamy mniej (no i w tym przypadku trafimy). Potem z tw. Bezout możemy podzielić i wyjdzie nam trójmian.,

AZS06 · Post autor: **AZS06** » 4 lis 2009, o 18:55

A więc licząc to dalej..
\(\displaystyle{ 7c^3-112c^2+16c+3840=0}\)

\(\displaystyle{ W(12) = 0}\)

\(\displaystyle{ (7c^2 - 28c - 320)(c-12)=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 784 + 8960}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 9744}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{9744} = 4\sqrt{609}}\)

\(\displaystyle{ c_1 = 12 \vee c_2 = \frac{14 - 2\sqrt{609}}{7} <0 \vee c_3 = \frac{14 + 2\sqrt{609}}{7}}\)

A więc długość boku tego trójkąta może mieć
\(\displaystyle{ 12}\) lub \(\displaystyle{ \frac{14 + 2\sqrt{609}}{7}}\) ??

Zadanie wykonane,
Pozdrawiam i dziękuje za pomoc