zabawa z rombem

[jakkubek]

Dany jest romb ABCD w którym kąt rozwarty przy wierzcholku B ma miarę 2 α. Przekątna AC dzieli ten romb na 2 trójkąty. Punkty przecięcia środkowych tych trójkątów oznaczamy S1 i S2. Niech P1 oznacza pole koła wpisanego w romb ABCD, zaś P2 pole koła wpisanego w czworokąt AS1CS2. Wykaż, że stosunek\(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_2}=1+8sin^2\alpha}\)

Mam problem z wyliczeniem promienia mniejszego okręgu, może jakaś wskazówka?

[Tristan]

Po pierwsze zauważmy, że czworokąt \(\displaystyle{ AS_{1}CS_{2}}\) jest rombem. Jego przekątne to AC i \(\displaystyle{ S_{1}S_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ S_{1}S_{2}=\frac{1}{3}BD}\). Wszystko to wynika z definicji środkowej . Jak pewnie wiesz, pole czworokąta o bokach a, b, c, d, w który wpisano okrąg o promieniu R, można wyrazić wzorem \(\displaystyle{ P=R(a+b+c+d)}\), czyli w naszym wypadku np. \(\displaystyle{ P=R 4|AS_{2}|}\) . Zarazem pole to możemy przedstawić za pomocą \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} |AC| |S_{1}S_{2}|}\). A te wielkości wyliczymy już z twierdzenia cosinusów. Nie przejmuj się długimi rachunkami, bo na końcu wszystko ładnie się poredukuje i poskraca i wyjdzie to co ma wyjść

[jakkubek]

Pogubiłem się...
zapsaiłem odcinki:
Ta potęga minus jeden to nie wiem skąd się wzięłą. Ja tego tam nie wpisywałem
\(\displaystyle{ |AC|=2 a sin }\)
\(\displaystyle{ |S_1S_2|=\frac{2}{3}a cos }\)
\(\displaystyle{ |S_1A|=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{1}{4} + 2 sin }}\)

Tak to ma być zapisane? o to trochę nie chce mi się poskracać. zostało mi:
\(\displaystyle{ 4+32sin^2\alpha}\)

[Tristan]

Z niewiadomych dla mnie powodów wychodzą Ci całkiem inne wielkości
Przyjmijmy, że nasz romb ABCD ma bok o długości \(\displaystyle{ a}\). |AC| jest przekątną rombu i jej długość wyliczmy z tw. cosinusów, tj:
\(\displaystyle{ |AC|^2=a^2+a^2-2 a a \cos 2 }\)
\(\displaystyle{ |AC|^2=a^2(2-2 \cos 2 )}\)
\(\displaystyle{ |AC|=a \sqrt{ 2- 2 \cos 2 )}\)
Teraz w ten sam sposób obliczamy długość przekątnej |BD| i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |BD|=a \sqrt{2+ 2 \cos \2 }}\) . Ponieważ \(\displaystyle{ |S_{1}S_{2}|=\frac{1}{3} |BD|}\), co wynika z definicji środkowej, więc \(\displaystyle{ |S_{1}S_{2}|=\frac{a}{3} \sqrt{ 2+2 \cos 2 }}\). Aby obliczyć długość boku rombu \(\displaystyle{ AS_{2}CS_{1}}\) skorzystamy znów z definicji środkowej. W trójkącie ABC mamy środkową AE, gdzie punkt E jest środkiem odcinka BC. Czyli \(\displaystyle{ |AS_{2}|=\frac{2}{3} |AE|}\). A przecież znów długość |AE| obliczymy z tw.cosinusów. Teraz pozostały już czyste obliczenia

[jakkubek]

Ja liczyłem boki z f. trygonometrycznych.
A twoim sposobem to:
\(\displaystyle{ |S_1S_2|=\frac{1}{3}a\sqrt{2+2cos2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ |AC|=a\sqrt{2-2cos2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ |S_1A|= \frac{2a}{3}sqrt{\frac{5}{4}-cos2\alpha}\)

W takim przyadku za pomocą czego zapisałeś pormień większego koła?
\(\displaystyle{ R=a \sin \cos }\)?

Dlaczego tam jest -1? Ja tego nie pisałem!

[Tristan]

\(\displaystyle{ P_{ABCD}=ah=a^2 \sin (180- 2 )}\), gdzie h - wysokość. Dzieląc obustronnie przez a otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h=a \sin 2 }\). Ponieważ \(\displaystyle{ R=\frac{1}{2} h}\), więc \(\displaystyle{ R=\frac{a}{2} \sin 2 =a \sin \cos }\). Jak zapisujesz w Texu, to dawaj spacje między wyrażeniami a przed frac, sqrt itd. dawaj "".

[jakkubek]

Dobra, zgadza mi się wszstko moim sbosobem. Po prostu zapomniałem o � we wzorze na pole z promieniem koła wpisanego Dzięki za cierpliwość