Metalową kulę o promieniu \(\displaystyle{ R = 3 cm}\) przetopiono na stożek. Tworząca stożka jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) , takim, że \(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}}\). Wyznacz promień podstawy tego stożka.
Promień podstawy stożka
Promień podstawy stożka
Ostatnio zmieniony 24 paź 2009, o 18:20 przez lorakesz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
barakuda
- Użytkownik
- Posty: 1086
- Rejestracja: 22 paź 2009, o 19:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polen
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 306 razy
Promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ V_{K} = \frac{4}{3} \pi \cdot R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{h}{l} \Rightarrow \frac{ \sqrt{5} }{5} = \frac{h}{l} \Rightarrow h = \frac{ \sqrt{5} }{5}l}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{l^2-h^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{ \sqrt{5} }{5}l)^2} = \sqrt{ \frac{20}{25}l^2 } = \frac{2 \sqrt{5} }{5} l \Rightarrow l = \frac{ \sqrt{5} }{2}r}\)
\(\displaystyle{ V_{S} = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h}\)
\(\displaystyle{ 36\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{5}l}\)
\(\displaystyle{ 108 = r^2 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{5} \cdot \frac{ \sqrt{5} }{2}r}\)
\(\displaystyle{ 108 = \frac{5}{10}r^3}\)
r^3 = 216 Rightarrow r=6
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{h}{l} \Rightarrow \frac{ \sqrt{5} }{5} = \frac{h}{l} \Rightarrow h = \frac{ \sqrt{5} }{5}l}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{l^2-h^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{ \sqrt{5} }{5}l)^2} = \sqrt{ \frac{20}{25}l^2 } = \frac{2 \sqrt{5} }{5} l \Rightarrow l = \frac{ \sqrt{5} }{2}r}\)
\(\displaystyle{ V_{S} = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h}\)
\(\displaystyle{ 36\pi = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{5}l}\)
\(\displaystyle{ 108 = r^2 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{5} \cdot \frac{ \sqrt{5} }{2}r}\)
\(\displaystyle{ 108 = \frac{5}{10}r^3}\)
r^3 = 216 Rightarrow r=6