Środki symetrii.

[krystianobor1]

Na zewnątrz równoległoboku ABCD , na jego bokach zbudowano kwadraty . Udowodnij , że środki symetrii tych kwadratów , także tworza kwadrat . (wykonaj rysunek pomocniczy)

[anna_]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/d6fde286cc6/

Przekątne kwadratów tworzą z bokami kąty \(\displaystyle{ 45^o}\)
\(\displaystyle{ |<DAB|=|<BCD|=\alpha\\
|<ADC|=|<BCD|=180^o-\alpha\\
|<O_{1}AO_{4}|=|<O_{2}CO_{3}|=\alpha+90^o\\
|<O_{4}DO_{3}|=|<O_{1}BO_{2}|=360^o-(180^o+\alpha+90^o)=\alpha+90^o}\)
Trójkąty \(\displaystyle{ O_{1}AO_{4}, \ O_{2}CO_{3},\ O_{4}DO_{3}, \ O_{1}BO_{2}}\) są przystające
Odpowiednie kąty przy wierzchołkach A, C, D, B są równe, a ich dwa boki to połowa przekątnej dużego i małego kwadratu, więc
\(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=|O_{2}O_{3}|=|O_{3}O_{4}|=|O_{1}O_{4}|}\)
Czyli czworokąt \(\displaystyle{ O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}}\) jest rombem
Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc
\(\displaystyle{ |<AO_{1}B|=90^o}\)
Ponieważ trójkątóy \(\displaystyle{ O_{1}AO_{4} \ i \ O_{1}BO_{2}}\) były przystające, więc
\(\displaystyle{ |<AC_{1}O_{4}|=|<BO_{1}O_{2}|=\beta\\
|<O_{4}O_{1}O_{2}|=|<O_{4}O_{1}B|+\beta=90^o}\)

Romb, którego kąty są proste jest kwadratem.