Stożek; przekrój osiowy; miara kąta środkowego

[lingen]

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie 8 i ramieniu 10.
Oblicz miare kąta środkowego wycinka koła stanowiącego powierzchnie boczną tego stożka.

Otóż znalazłem rozwiązanie na naszym forum, ale go nie rozumiem ;/

Skoro przekrojem osiowym jest trójkąt o podstawie 8 to promień podstawy stożka jest równy \(\displaystyle{ r=4}\), czyli obwód podstawy stożka to \(\displaystyle{ 2\Pi \cdot r=2\Pi4=8\Pi}\) czyli długość wycinka koła o promieniu \(\displaystyle{ L=10}\) to 8Pi. Obwód całego koła z którego powstał wycinek to \(\displaystyle{ 2\Pi \cdot L=2\Pi10=20\Pi}\)Zatem jeśli\(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt naszego wycinka to mamy zależność \(\displaystyle{ \ \frac{ \alpha }{360} =8\Pi/20\Pi}\) zatem \(\displaystyle{ \alpha =360 \cdot 80/20=144}\)

stąd: https://www.matematyka.pl/124746.htm

Czy ktoś mógłby stworzyć rysunek poglądowy, gdyż nie posiadam takich narzędzi ;/
O jaką zależność chodzi?

[Sherlock]

Gdy rozwiniesz powierzchnię boczną stożka otrzymasz wycinek koła, na rysunku ten wycinek trochę spłaszczony bo pokazany z perspektywy

[lingen]

Łee jakie ładne modele ;p co to program ?

No więc moim zadaniem jest obliczenia kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), który jest kątem środkowym wycinka koła stanowiącego powierzchnie boczną tego stożka? ;d

Pole wycinka, wzór: \(\displaystyle{ P = \frac{\alpha}{360^o} * \pi r^2}\)

Hmm... brakuje mi pola ażeby spokojnie wyliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\), ale jest jeszcze jeden wzór na pole powierzchni bocznej stożka ;d i wygląda on następująco:

\(\displaystyle{ P_b = \pi r l = 40 \pi}\)

No i dalej zrobiłbym o tak:
\(\displaystyle{ \pi r l = \frac{\alpha}{360^o} * \pi r^2}\)

\(\displaystyle{ 40 \pi= \frac{\alpha}{360^o} * 16\pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}= \frac{\alpha}{360^o}}\)

i wychodzi wspaniale, niepoprawny wynik:

\(\displaystyle{ \alpha= \frac{1800^o}{2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha= 900^0}\)

Ratuj Sherlock'u ;p

Zresztą i tak chciałbym się dowiedzieć jaką metodę przedstawiła w tamtym poście izzzi ;p Czy jesteś w stanie mi to wytłumaczyć

---------Poprawione-----

Pole wycinka koła, wzór: \(\displaystyle{ P = \frac{\alpha}{360^o} * \pi r^2}\)

\(\displaystyle{ P_b = \pi r l = 40 \pi}\)

\(\displaystyle{ r' = l = 10}\)
\(\displaystyle{ \pi r l = \frac{\alpha}{360^o} * \pi r'^2}\)

\(\displaystyle{ 40 \pi= \frac{\alpha}{360^o} * 100\pi}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{5}= \frac{\alpha}{360^o}}\)

i wychodzi wspaniale, *poprawny* wynik:

\(\displaystyle{ \alpha= \frac{720}{5}}\)

\(\displaystyle{ \alpha= 144^0}\)

[Sherlock]

co to program ?

Blender

No więc moim zadaniem jest obliczenia kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), który jest kątem środkowym wycinka koła stanowiącego powierzchnie boczną tego stożka? ;d

tak

[lingen]

up^

[Sherlock]

No to po kolei.
Obwód podstawy stożka to \(\displaystyle{ 8\pi}\), to także długość "łuku" wycinka po rozłożeniu powierzchni bocznej stożka. Wycinek pochodzi jednak z koła o promieniu 10 czyli o obwodzie \(\displaystyle{ 20\pi}\). Pytanie brzmi: jaką częścią tego koła jest nasz wycinek? Ano \(\displaystyle{ \frac{8\pi}{20\pi}}\) podobnie kąt wpisany do kąta pełnego ma się tak:
\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{360^0}= \frac{8}{20}}\)

-- 15 października 2009, 20:35 --

\(\displaystyle{ \pi r l = \frac{\alpha}{360^o} * \pi r^2}\)

tak możesz liczyć tylko po lewej r pochodzi ze stożka i wynosi 4, a po prawej r' pochodzi z koła, którego częścią jest wycinek czyli r'=10

[lingen]

ok to już rozumiem ta metodę izzzi... a także błąd jaki popełniłem w swoich obliczeniach ;d

Długość promienia w tym moim wycinku to nie 4, ale 10 czyli nasze l. Zaraz poprawię powyżej ;d

Dziękuję Sherlock'u... tak znowu "odkonserwowałeś" moją puszkę na czubku głowy i wrzuciłeś trochę przydatnego "szajsu" dzięki, dzięki, dzięki ;p