Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P

[lingen]

W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Wykaż, ze pole trójkąta APD jest równe polu trojkąta PBC.



I tutaj nie wiem... Wykazać, czyli przyrównać jedno pole do drugiego, jak mniemam, ale w jaki sposób to zrównać?

[Qń]

Wskazówka: trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) mają równe pola (dlaczego?), wystarczy teraz odjąć od obu tych pół pole trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\).

Q.

[Sherlock]

Inny sposób na rozwiązanie. Trójkąty APB i DPC są podobne (możesz to udowodnić: masz tam kąty wierzchołkowe, przedłuż proste zawierające boki i przekątne i uzupełnij kąty). Ponieważ podobne to:
\(\displaystyle{ \frac{|PC|}{|PA|}= \frac{|PD|}{|PB|}}\)
po wymnożeniu
\(\displaystyle{ |PC| \cdot |PB|=|PA| \cdot |PD|}\) (1)
Kąty DPA i CPB są równe (kąty wierzchołkowe) czyli:
\(\displaystyle{ sin \sphericalangle DPA=sin \sphericalangle CPB}\)
podzielmy przez dwa
\(\displaystyle{ \frac{sin \sphericalangle DPA}{2} = \frac{sin \sphericalangle CPB}{2}}\) (2)
Teraz przypomnij sobie pewien wzór na pole trójkąta i spróbuj coś wykombinować z równościami (1) i (2)

[lingen]

Do sposobu Qń doszedłem w końcu sam, ale mimo wszystko chcę zrobić to na 2 sposoby ;p
Dziękuje Sherlock'u za podsunięcie ajdiji ;d
A więc znalazłem coś takiego:

a tam:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}*a*b*sin\alpha}\)
Czyli gdybym chciał wszystko poprawnie zapisać i ukończyć zadanie to wyglądałoby to tak:
------------------------------------------------------
Pole trójkąta można policzyć za pomocą wzoru:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}absin\alpha}\)

Trójkąty APB i DPC są podobne, gdyż znajdują się tam kąty wierzchołkowe, a skoro podobne to:
\(\displaystyle{ \frac{|PC|}{|PA|}= \frac{|PD|}{|PB|}}\)
\(\displaystyle{ |PC| \cdot |PB|=|PA| \cdot |PD| = a \cdot b}\)

Kąty wierzchołkowe mają taką samą miarę zatem:
\(\displaystyle{ sin \sphericalangle DPA=sin \sphericalangle CPB = sin \alpha}\)

Podstawiając do wzoru mamy:
\(\displaystyle{ P _{CPB} = \frac{1}{2}*|PC| * |PB|*sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ P _{DPA} = \frac{1}{2}*|PA| * |PD|*sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ P _{CPB} = P _{DPA}}\)
-------------------------------------------------

Nie rozumiem tylko czemu dzieliłeś przez 2, a może nie chodziło ci wcale oto co zrobiłem powyżej ;d?

[Sherlock]

Nie rozumiem tylko czemu dzieliłeś przez 2, a może nie chodziło ci wcale oto co zrobiłem powyżej ;d?

Dzieliłem przez dwa żeby uzyskać fragment tego wzoru na pole czyli: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} sin\alpha}\). Twoje działania w pełni odpowiadają moim intencjom.
Pomysł Qń jest sprytniejszy i łatwiejszy. Pomysł z sinusami i podobieństwem z kolei wykorzystuje więcej informacji, które mogą się przydać w innych zadaniach

PS

\(\displaystyle{ |PC| \cdot |PB|=|PA| \cdot |PD| = a \cdot b}\)

zauważ, że to iloczyn długości boku |PC| z |PB| oraz iloczyn boku |PA| z |PD| są równe, co nie oznacza, że równe są długości poszczególnych boków (tak może być ale nie musi)

[lingen]

Tak tak, też mi to na myśl przyszło i to zauważyłem, ale dla ścisłości: Czy muszę wstawić to w takim razie w jakiś nawias. Czy to tylko taka uwaga, żebym kiedys z marszu nie popełnił głupstwa ;p?

[Sherlock]

O jakie nawiasy chodzi? Jeśli o te: (1) i (2) to chodziło mi tylko o zaznaczenie równań, by potem już ich nie powtarzać

[lingen]

Nie nie ten iloczyn a * b czy wstawić do nawiasów czy to była tylko taka uwaga ;p

[Sherlock]

Hmmm... \(\displaystyle{ ab}\) ma za zadanie pokazać, że te dwa iloczyny z zadania odpowiadają temu iloczynowi ze wzoru na pole trójkąta. Myślę, że najlepiej podać w rozwiązaniu, że wykorzystujemy wzór: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}absin\alpha}\), gdzie alfa to kąt pomiędzy bokami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) trójkąta, a następnie od razu podstawiać dane z zadania