Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Wykaż, ze pole trójkąta APD jest równe polu trojkąta PBC.
I tutaj nie wiem... Wykazać, czyli przyrównać jedno pole do drugiego, jak mniemam, ale w jaki sposób to zrównać?
I tutaj nie wiem... Wykazać, czyli przyrównać jedno pole do drugiego, jak mniemam, ale w jaki sposób to zrównać?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Wskazówka: trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) mają równe pola (dlaczego?), wystarczy teraz odjąć od obu tych pół pole trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\).
Q.
Q.
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Inny sposób na rozwiązanie. Trójkąty APB i DPC są podobne (możesz to udowodnić: masz tam kąty wierzchołkowe, przedłuż proste zawierające boki i przekątne i uzupełnij kąty). Ponieważ podobne to:
\(\displaystyle{ \frac{|PC|}{|PA|}= \frac{|PD|}{|PB|}}\)
po wymnożeniu
\(\displaystyle{ |PC| \cdot |PB|=|PA| \cdot |PD|}\) (1)
Kąty DPA i CPB są równe (kąty wierzchołkowe) czyli:
\(\displaystyle{ sin \sphericalangle DPA=sin \sphericalangle CPB}\)
podzielmy przez dwa
\(\displaystyle{ \frac{sin \sphericalangle DPA}{2} = \frac{sin \sphericalangle CPB}{2}}\) (2)
Teraz przypomnij sobie pewien wzór na pole trójkąta i spróbuj coś wykombinować z równościami (1) i (2)
\(\displaystyle{ \frac{|PC|}{|PA|}= \frac{|PD|}{|PB|}}\)
po wymnożeniu
\(\displaystyle{ |PC| \cdot |PB|=|PA| \cdot |PD|}\) (1)
Kąty DPA i CPB są równe (kąty wierzchołkowe) czyli:
\(\displaystyle{ sin \sphericalangle DPA=sin \sphericalangle CPB}\)
podzielmy przez dwa
\(\displaystyle{ \frac{sin \sphericalangle DPA}{2} = \frac{sin \sphericalangle CPB}{2}}\) (2)
Teraz przypomnij sobie pewien wzór na pole trójkąta i spróbuj coś wykombinować z równościami (1) i (2)
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Do sposobu Qń doszedłem w końcu sam, ale mimo wszystko chcę zrobić to na 2 sposoby ;p
Dziękuje Sherlock'u za podsunięcie ajdiji ;d
A więc znalazłem coś takiego:
a tam:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}*a*b*sin\alpha}\)
Czyli gdybym chciał wszystko poprawnie zapisać i ukończyć zadanie to wyglądałoby to tak:
------------------------------------------------------
Pole trójkąta można policzyć za pomocą wzoru:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}absin\alpha}\)
Trójkąty APB i DPC są podobne, gdyż znajdują się tam kąty wierzchołkowe, a skoro podobne to:
\(\displaystyle{ \frac{|PC|}{|PA|}= \frac{|PD|}{|PB|}}\)
\(\displaystyle{ |PC| \cdot |PB|=|PA| \cdot |PD| = a \cdot b}\)
Kąty wierzchołkowe mają taką samą miarę zatem:
\(\displaystyle{ sin \sphericalangle DPA=sin \sphericalangle CPB = sin \alpha}\)
Podstawiając do wzoru mamy:
\(\displaystyle{ P _{CPB} = \frac{1}{2}*|PC| * |PB|*sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ P _{DPA} = \frac{1}{2}*|PA| * |PD|*sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ P _{CPB} = P _{DPA}}\)
-------------------------------------------------
Nie rozumiem tylko czemu dzieliłeś przez 2, a może nie chodziło ci wcale oto co zrobiłem powyżej ;d?
Dziękuje Sherlock'u za podsunięcie ajdiji ;d
A więc znalazłem coś takiego:
a tam:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}*a*b*sin\alpha}\)
Czyli gdybym chciał wszystko poprawnie zapisać i ukończyć zadanie to wyglądałoby to tak:
------------------------------------------------------
Pole trójkąta można policzyć za pomocą wzoru:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}absin\alpha}\)
Trójkąty APB i DPC są podobne, gdyż znajdują się tam kąty wierzchołkowe, a skoro podobne to:
\(\displaystyle{ \frac{|PC|}{|PA|}= \frac{|PD|}{|PB|}}\)
\(\displaystyle{ |PC| \cdot |PB|=|PA| \cdot |PD| = a \cdot b}\)
Kąty wierzchołkowe mają taką samą miarę zatem:
\(\displaystyle{ sin \sphericalangle DPA=sin \sphericalangle CPB = sin \alpha}\)
Podstawiając do wzoru mamy:
\(\displaystyle{ P _{CPB} = \frac{1}{2}*|PC| * |PB|*sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ P _{DPA} = \frac{1}{2}*|PA| * |PD|*sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ P _{CPB} = P _{DPA}}\)
-------------------------------------------------
Nie rozumiem tylko czemu dzieliłeś przez 2, a może nie chodziło ci wcale oto co zrobiłem powyżej ;d?
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Dzieliłem przez dwa żeby uzyskać fragment tego wzoru na pole czyli: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} sin\alpha}\). Twoje działania w pełni odpowiadają moim intencjom.lingen pisze:Nie rozumiem tylko czemu dzieliłeś przez 2, a może nie chodziło ci wcale oto co zrobiłem powyżej ;d?
Pomysł Qń jest sprytniejszy i łatwiejszy. Pomysł z sinusami i podobieństwem z kolei wykorzystuje więcej informacji, które mogą się przydać w innych zadaniach
PS
zauważ, że to iloczyn długości boku |PC| z |PB| oraz iloczyn boku |PA| z |PD| są równe, co nie oznacza, że równe są długości poszczególnych boków (tak może być ale nie musi)lingen pisze:\(\displaystyle{ |PC| \cdot |PB|=|PA| \cdot |PD| = a \cdot b}\)
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Tak tak, też mi to na myśl przyszło i to zauważyłem, ale dla ścisłości: Czy muszę wstawić to w takim razie w jakiś nawias. Czy to tylko taka uwaga, żebym kiedys z marszu nie popełnił głupstwa ;p?
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
O jakie nawiasy chodzi? Jeśli o te: (1) i (2) to chodziło mi tylko o zaznaczenie równań, by potem już ich nie powtarzać
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Nie nie ten iloczyn a * b czy wstawić do nawiasów czy to była tylko taka uwaga ;p
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Hmmm... \(\displaystyle{ ab}\) ma za zadanie pokazać, że te dwa iloczyny z zadania odpowiadają temu iloczynowi ze wzoru na pole trójkąta. Myślę, że najlepiej podać w rozwiązaniu, że wykorzystujemy wzór: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}absin\alpha}\), gdzie alfa to kąt pomiędzy bokami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) trójkąta, a następnie od razu podstawiać dane z zadania