Równoległobok z wpisanym okręgiem.
Równoległobok z wpisanym okręgiem.
Punkty A, B, C, są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że kąt ABC = 120 stopni i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest (3)^(1/2), oblicz długość boków i pole tego równoległoboku.
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 845
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Równoległobok z wpisanym okręgiem.
Porównujemy dwa wzory na pole trójkąta BCD: \(\displaystyle{ P=\frac{r}{2}(a+b+d)}\) (d - przekątna), oraz \(\displaystyle{ P=\frac{ab}{2}sin\alpha}\). Za a+b podstawiamy 13 (połowa obwodu). Z tego równania otrzymamy ab=26+2d. Teraz korzystając z tw. cosinusów w tr. BCD mamy:
\(\displaystyle{ d^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos\alpha\\d^{2}=a^{2}+b^{2}-ab\\d^{2}=(a+b)^{2}-3ab\\d^{2}=169-3ab}\)
Za ab podstawiamy ab z poprzedniego równania, otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego obliczamy d=7. Do poprzedniego wzoru na ab postawiamy otrzymane d i mamy: ab=40, oraz a+b=13. Z tego bardzo łatwo obliczyć boki równoległoboku: 5 i 8. Zostało pole: \(\displaystyle{ absin\alpha=20\sqrt{3}}\).
\(\displaystyle{ d^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos\alpha\\d^{2}=a^{2}+b^{2}-ab\\d^{2}=(a+b)^{2}-3ab\\d^{2}=169-3ab}\)
Za ab podstawiamy ab z poprzedniego równania, otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego obliczamy d=7. Do poprzedniego wzoru na ab postawiamy otrzymane d i mamy: ab=40, oraz a+b=13. Z tego bardzo łatwo obliczyć boki równoległoboku: 5 i 8. Zostało pole: \(\displaystyle{ absin\alpha=20\sqrt{3}}\).