Kąty w trapezie ABCD

[krystian8207]

Punkty M,N sa środkami podstaw odpowiednio AB i CD trapezu ABCD przy czym \(\displaystyle{ MN=\frac{1}{2}(AB-CD)}\). Udowodnij, że suma miar kątów BAD i ABC wynosi \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\).

[anna_]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/d7005e8d22a/

Z podobieństwa trójkątów MBE i NCE
\(\displaystyle{ \frac{x}{0,5b} = \frac{x+0,5(a-b)}{0,5a}\\
x= \frac{1}{2}b}\)
Czyli trójkąt NCE i DNE są równoramienne

\(\displaystyle{ |<NEC|=\beta}\)
\(\displaystyle{ |<NED|=\alpha}\)

Z sumy kątów trójkąta ABC wyjdzie co trzeba

[Sherlock]

Możemy zadanie rozwiązać także w ten sposób:

\(\displaystyle{ |MN|= \frac{a-b}{2}= \frac{a}{2}- \frac{b}{2}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a=|AB|}\), \(\displaystyle{ b=|CD|}\)
Tworząc równoległobok EFCD zauważamy, że trójkąty AED oraz BFC są równoramienne o ramieniu równym |MN|. Uzupełniamy kąty w trójkątach oraz równoległoboku. Pamiętamy, że w równoległoboku suma miar sąsiednich kątów wynosi \(\displaystyle{ 180^0}\) czyli:
\(\displaystyle{ 2\alpha+2\beta=180^0}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta=90^0}\)