Okrąg opisany na trapezie

vincent07 · Post autor: **vincent07** » 5 paź 2009, o 21:21

Każda z przekątnych trapezu ma długość 5, jedna z podstaw ma długosc 2, a pole równe
jest 12. Obliczyc promien okregu opisanego na tym trapezie. Sporzadzic rysunek.
Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś pomógł mi rozpocząć zadanie.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 paź 2009, o 22:04

Trapez jest równoramienny.
h; x - wysokość; podstawa.
Odetnij jeden z ,,wystających" trójkątów i dolep z drugiej strony tak aby uzyskać prostokąt.

Zobacz trójkąt prostokątny : 5; h; 2+0,5(x-2).

Pitagoras i równanie z treści (pole).

vincent07 · Post autor: **vincent07** » 6 paź 2009, o 16:07

\(\displaystyle{ \begin{cases} h^{2} + (2 + x)^{2} = 5^{2}\\ h(2 + x) = 12 \end{cases}}\)

Idąc Twoim tokiem rozumowania, przyjąłem, że druga podstawa wynosi \(\displaystyle{ 2x + 2}\). Przesuwamy trójkąt i tworzymy prostokąt o wymiarach \(\displaystyle{ h(x+2)}\). O to chodzi?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 6 paź 2009, o 18:12

vincent07 pisze:Idąc Twoim tokiem rozumowania, przyjąłem, że druga podstawa wynosi \(\displaystyle{ 2x + 2}\). Przesuwamy trójkąt i tworzymy prostokąt o wymiarach \(\displaystyle{ h(x+2)}\). O to chodzi?

Tak.

Przyjąłeś inne oznaczenia, ale to nieistotne.

vincent07 · Post autor: **vincent07** » 10 paź 2009, o 13:56

Rozwiązałem zadanie, ale mam jedno pytanie odnośnie założeń. Nie wiem, czy dobrze myślę, ale wychodzi, że x z podanego wyżej układu mogłoby być ujemne. Na wstępie założyliśmy, że długość krótszej podstawy jest równa 2. Gdyby np. \(\displaystyle{ x= -\frac{1}{2}}\) to długość założonej "dłuższej" podstawy wynosiłaby 1, czyli stałaby się krótsza od 2. Moim zdaniem można by zrobić założenie, że \(\displaystyle{ xe(-1,+ \infty)}\). Potem gdy wyznaczamy h z drugiego równania nie trzeba pisać, że \(\displaystyle{ x \neq -2}\). Może trochę przekombinowałem, jaka jest Wasza opinia?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 paź 2009, o 15:05

\(\displaystyle{ \in}\) to ,,in"

Oczywistym jest (dla mnie), że (x) jest dodatnie.

Nie wiem jak rozwiązywałeś, ja tak :
- drugie do kwadratu
- wprowadzam nowe zmienne \(\displaystyle{ h^2=a}\) oraz \(\displaystyle{ (x+2)^2=b}\)
- rozwiązuje układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b = 5^{2}\\ ab = 12^2 \end{cases}}\)

- wracam do podstawienia.

[edit] Po krótkim zastanowieniu (nie pamiętałem treści zadania) - możesz przeliczyć dla przypadku, że 2 jest dłuższą podstawą i zobaczyć czy ,,zagra".

Piotr Jucha · Post autor: **Piotr Jucha** » 10 paź 2009, o 15:48

vincent07 pisze:Moim zdaniem można by zrobić założenie, że \(\displaystyle{ xe(-1,+ \infty)}\).

Przy takich oznaczeniach (tzn. gdy x=(b-a)/2, a,b - podstawy), to nawet trzeba takie założenie zrobić.

vincent07 · Post autor: **vincent07** » 10 paź 2009, o 18:31

Założyliśmy, że 2 to krótsza podstawa i tak jest, lecz podczas rozwiązywania układu równań mogło wyjść np.\(\displaystyle{ x= - \frac{1}{2}}\). Wtedy większość by stwierdziła, że to sprzeczne rozwiązanie, bo długość nie może być wartością ujemną, lecz to rozwiązanie nie byłoby sprzeczne, tylko pokazałoby, że w rzeczywistości wartość dłuższej podstawy wynosi 2. Przypomnę, że liczyłem z prostokąta, a mamy obliczyć podstawę trapezu. Jeżeli "dłuższą" podstawę trapezu oznaczymy \(\displaystyle{ 2x + 2}\) i \(\displaystyle{ x= - \frac{1}{2}}\) to podstawa wynosi 1 \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) 1(nasza założona "dłuższa" podstawa) < 2 (nasza założona "krótsza" podstawa). Nie byłem pewny, lecz teraz chyba sam siebie przekonałem, że założenie jest potrzebne.