Oblicz pole trapezu...

[grzywatuch]

Przekątne trapezu dzielą go na cztery częsci. Pola trójkątów przylegających do jego podstaw wynoszą \(\displaystyle{ 4}\)i\(\displaystyle{ 9}\). Oblicz pole trapezu.

Tu juz totalnie nie wiem jak to rozkminic, pls o jakaś podpowiedź xD

[Sherlock]

Narysuj trapez i przekątne. Zauważ, że trójkąty oparte na podstawach (nazwijmy je górny i dolny) są podobne (możesz udowodnić to rysując przedłużenia boków i przekątnych i szukać kątów). Stosunek pól podobnych trójkątów wynosi:
\(\displaystyle{ k^2= \frac{4}{9}}\)
czyli skala podobieństwa wynosi
\(\displaystyle{ k= \frac{2}{3}}\)
Możemy więc górną podstawę \(\displaystyle{ a}\) przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a= \frac{2}{3}b}\) gdzie \(\displaystyle{ b}\) to dolna podstawa. Podobnie wysokość górnego trójkąta: \(\displaystyle{ h_g=\frac{2}{3}h_d}\).
Jedziemy dalej
Pole górnego trójkąta:
\(\displaystyle{ 4= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_g}\)
\(\displaystyle{ 8= a \cdot h_g}\)
Pole dolnego trójkąta:
\(\displaystyle{ 9= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_d}\)
\(\displaystyle{ 18= b \cdot h_d}\)
Pamiętając o wcześniejszych równaniach wyliczysz bez problemu pole trapezu:
\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b)h}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b)(h_g+h_d)}{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{ah_g+bh_g+ah_d+bh_d}{2}}\)

[grzywatuch]

Coś mi nie wychodzi xD

[Sherlock]

\(\displaystyle{ P= \frac{ah_g+bh_g+ah_d+bh_d}{2}}\)
\(\displaystyle{ ah_g}\) i \(\displaystyle{ bh_d}\) masz,
\(\displaystyle{ ah_d}\) podstaw \(\displaystyle{ h_g}\) lub \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ bh_g}\) podstaw \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ h_d}\)

[grzywatuch]

Heh wszystko fajnie tylko po podstawieniu, i wyliczeniu pola wychodzi: \(\displaystyle{ 26+ \frac{8b ^{2} +18a ^{2} }{ ab}}\) i wg mnie to od razu jest źle bo wynik ma wyjsc \(\displaystyle{ 25}\) a tu wychodzi na początku \(\displaystyle{ 26+....}\)

nie wiem może źle licze ale mi to nie wyjdzie

[Sherlock]

\(\displaystyle{ P= \frac{ah_g+bh_g+ah_d+bh_d}{2}}\)
\(\displaystyle{ ah_g=8}\)
\(\displaystyle{ bh_d=18}\)
\(\displaystyle{ bh_g=b \cdot \frac{2}{3} h_d=12}\) lub \(\displaystyle{ bh_g= \frac{3}{2}ah_g =12}\)
\(\displaystyle{ ah_d= \frac{2}{3} bh_d=12}\) lub \(\displaystyle{ ah_d=a \cdot \frac{3}{2}h_g =12}\)
Podstaw do pola i wszystko gra

[grzywatuch]

No wyszło.

Ja czasem mam jakies zaćmienia, że chociaż mam wszystko podane to nie rozwiaże tego xD

[lykkeli]

mam pytanie czemu a=2/3b i hg=2/3hd ? mógłby to ktoś prosto wytlumaczyć ?

[Sherlock]

mam pytanie czemu a=2/3b i hg=2/3hd ? mógłby to ktoś prosto wytlumaczyć ?

Zauważ, że trójkąt żółty i pomarańczowy są podobne (cecha kąt-kąt, przedłużyłem boki by zauważyć kąty odpowiadające i wierzchołkowe). Ze stosunku ich pól można wyliczyć skalę podobieństwa: \(\displaystyle{ k= \frac{2}{3}}\). Zatem stosunek długości w mniejszym (pomarańczowym) trójkącie do odpowiadających im długości w trójkącie większym (żółtym) wynosi 2/3. Stąd \(\displaystyle{ a= \frac{2}{3}b}\) i \(\displaystyle{ h_g= \frac{2}{3}h_d}\)