udowodnij, że okręgi przecinają się w jednym punkcie

[drEpidemia]

Na boku AB trójkąta ostrokątnego ABC wybieramy dowolnie punkt C1. Podobnie na boku BC wybieramy punkt A1, a na boku CA wybieramy punkt B1. Udowodnij, że okręgi opisane na trójkątach A1B1C, B1C1A i A1C1B przecinają się w jednym punkcie.

[klaustrofob]

rozważmy okręgi opisane na \(\displaystyle{ A_1C_1B}\) i \(\displaystyle{ A_1B_1C}\). przecinają się one w pewnym punkcie P. udowodnię, że okrąg \(\displaystyle{ B_1C_1A}\) przechodzi przez ten punkt. zauważmy, że:
a) suma miar kątów \(\displaystyle{ C_1PA_1}\), \(\displaystyle{ A_1PB_1}\) i \(\displaystyle{ B_1PC_1}\) wynosi 360
b) suma miar kątów \(\displaystyle{ C_1PA_1}\) i \(\displaystyle{ C_1BA_1}\)= suma miar kątów \(\displaystyle{ A_1PB_1}\) i \(\displaystyle{ A_1CB_1}\) = 180 (bo rozważane okręgi są opisane na czworokątach \(\displaystyle{ C_1BA_1P}\) oraz \(\displaystyle{ A_1CB_1P}\))

teraz łatwo sprawdzić, że suma miar kątów \(\displaystyle{ C_1PB_1}\) i \(\displaystyle{ C_1AB_1}\) wynosi 180, co pokazuje, że na czworokącie \(\displaystyle{ C_1AB_1P}\) można opisać okrąg, który jest przecież jednocześnie opisany na trójkącie \(\displaystyle{ C_1AB_1}\)