Półokręgi oparte na każdym z boków Trapezu

[barusek25]

Przekątne trapezu o podst. 3 i 4 przecinają sie pod kątem prostym. Na każdym z boków trapezu , jako na średnicy, oparto półokrąg. Oblicz sumę pół otrzymanych czterech półkoli. Sporządzić rysunek.

[anna_]

Nie podano czasem jaki to trapez?

[barusek25]

własnie nie podali

[anna_]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/d35c4ff29a7/

Trójkąty ECD i ABD są podobne w 3:4

Z Pitagorasa dla trójkąta ABD
\(\displaystyle{ x^2+y^2=16}\)
Z Pitagorasa dla trójkąta BCD
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{4}x \right)^2+ \left( \frac{3}{4}y \right)^2=9}\)

Z Pitagorasa dla trójkąta ECD
\(\displaystyle{ (2r_{1})^2= \left( \frac{3}{4}x \right)^2+y^2 \Rightarrow r_{1}^2= \frac{\left( \frac{3}{4}x \right)^2+y^2}{4}}\)

Z Pitagorasa dla trójkąta ADE
\(\displaystyle{ (2r_{2})^2=x^2 +\left( \frac{3}{4}y \right)^2\Rightarrow r_{2}^2= \frac{x^2+\left( \frac{3}{4}y \right)^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ P_{1}+P_{2}= \frac{\pi r_{1}^2}{2} +\frac{\pi r_{2}^2}{2}= \frac{\pi}{2}(r_{1}^2+r_{2}^2)=\frac{\pi}{2} \left( \frac{\left( \frac{3}{4}x \right)^2+y^2}{4}+\frac{x^2+\left( \frac{3}{4}y \right)^2}{4}\right) =\frac{\pi}{8} \left( x^2+y^2+{\left( \frac{3}{4}x \right)^2+{\left( \frac{3}{4}y \right)^2\right)=\frac{\pi}{8}(16+9)=\frac{25\pi}{8}}\)

Sumę pól górnego i dolnego półokręgu policzy się bez problemu.