Równoległoboki, prostokąty, kwadraty-zadania z treścią

Xander · Post autor: **Xander** » 26 wrz 2009, o 16:21

Mam problem z rozwiązaniem kilku zadań tzw. typu "udowodnij" z licealnego zbioru zadań. Dwa pierwsze rozwiązałem częściowo, na kolejne nie mam pomysłu w ogóle. Prosiłbym o wskazówki odnośnie ich rozwiązania.

1. W równoległobok ABCD wpisany jest równoległobok EFGH (tzn. do każdego boku równoległoboku ABCD należy jeden wierzchołek równoległoboku EFGH). Udowodnij, że te równoległoboki mają wspólny środek symetrii.

Środkiem symetrii równoległoboku jest punkt przecięcia się jego przekątnych. Ale jak udowodnić, że przekątne obu figur przecinają się w jednym punkcie? Mam z tym problem, mimo że to oczywiste na pierwszy rzut oka.

2. Prostokąt przecinamy dwiema prostymi, równoległymi do jednej przekątnej i jednakowo od niej odległymi. Wykaż, że otrzymany wówczas równoległobok wpisany w dany prostokąt ma obwód równy sumie długości przekątnych danego prostokąta.

(rysunek pomocniczy mojego autorstwa)

Konkretnie nie wiem jak uzasadnić, że AB=AC. Cała reszta jest już prosta.

3. W równoległoboku ABCD punkty E i F są środkami boków AB i AD. Wykaż, że proste CE i CF dzielą przekątną BD tego równoległoboku na trzy równe części.

4. Udowodnij, że środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku i leżących na zewnątrz tego równoległoboku są wierzchołkami nowego kwadratu

5. Przez wierzchołek równoległoboku prowadzimy dowolną prostą k nie przecinającą równoległoboku i z trzech pozostałych wierzchołków prowadzimy odcinki prostopadłe do tej prostej. Udowodnij, że długość odcinka poprowadzonego ze środkowego wierzchołka równa się sumie długości dwóch pozostałych odcinków prostopadłych. Jak zmieni się twierdzenie, jeżeli prosta k przecina równoległobok?

anna_ · Post autor: **anna_** » 26 wrz 2009, o 16:27

4.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/d6fde286cc6/

Przekątne kwadratów tworzą z bokami kąty \(\displaystyle{ 45^o}\)
\(\displaystyle{ |<DAB|=|<BCD|=\alpha\\
|<ADC|=|<BCD|=180^o-\alpha\\
|<O_{1}AO_{4}|=|<O_{2}CO_{3}|=\alpha+90^o\\
|<O_{4}DO_{3}|=|<O_{1}BO_{2}|=360^o-(180^o+\alpha+90^o)=\alpha+90^o}\)
Trójkąty \(\displaystyle{ O_{1}AO_{4}, \ O_{2}CO_{3},\ O_{4}DO_{3}, \ O_{1}BO_{2}}\) są przystające
Odpowiednie kąty przy wierzchołkach A, C, D, B są równe, a ich dwa boki to połowa przekątnej dużego i małego kwadratu, więc
\(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=|O_{2}O_{3}|=|O_{3}O_{4}|=|O_{1}O_{4}|}\)
Czyli czworokąt \(\displaystyle{ O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}}\) jest rombem
Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc
\(\displaystyle{ |<AO_{1}B|=90^o}\)
Ponieważ trójkątóy \(\displaystyle{ O_{1}AO_{4} \ i \ O_{1}BO_{2}}\) były przystające, więc
\(\displaystyle{ |<AC_{1}O_{4}|=|<BO_{1}O_{2}|=\beta\\
|<O_{4}O_{1}O_{2}|=|<O_{4}O_{1}B|+\beta=90^o}\)

Romb, którego kąty są proste jest kwadratem.

2.
https://matematyka.pl/135042.htm

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 26 wrz 2009, o 18:45

2. Robię inaczej.
2d - przekątna prostokąta
2a; 2b - boki równoległoboku

Z Talesa :
\(\displaystyle{ \frac{b}{d}=\frac{d-a}{d}}\) (i to prawie koniec)

anna_ · Post autor: **anna_** » 26 wrz 2009, o 18:50

Trzecie gdzieś tam jest, a masz pomysł na 5?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 26 wrz 2009, o 19:03

3. Tutaj (tyle kiedyś wystarczyło) :
136590.htm

Jeśli pytanie o to 5-te do mnie - nawet nie rysowałem (na razie).

anna_ · Post autor: **anna_** » 26 wrz 2009, o 19:09

Do Ciebie
Ja narysowałam, ale poza dwoma trapezami prostokątnymi jak na razie nic więcej nie wypatrzyłam.

Niepotrzebnie chciałam sobie to zadanie utrudnić.
Rozwiązanie I części zadania jest tutaj:
77936.htm

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/346ab1c778e/

Rozwiązanie II części

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/d1290c276fb/

\(\displaystyle{ y-z=x+t}\)
\(\displaystyle{ y=x+z+t}\)