trzeci bok trójkąta wpisanego w okrąg

[iskierka91]

Dwa boki trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\) i \(\displaystyle{ R\sqrt{3}}\) Oblicz długość trzeciego boku.

Bardzo, bardzo proszę o pomoc

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ x}\) oznacza długość szukanego boku trójkąta, a \(\displaystyle{ \alpha}\) miarę kąta w trójkącie zawartego między danymi bokami. Rozważmy kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) - wobec twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym ma on miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\).
Wtedy z twierdzenia kosinusów otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2=(\frac{R}{2})^2+(R\sqrt{3})^2-R^2\sqrt{3}\cos\alpha \\
x^2=R^2+R^2-2R^2\cos 2\alpha
\end{cases}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2=\frac{13}{4}R^2-R^2\sqrt{3}\cos\alpha \\
x^2=2R^2(1-\cos 2\alpha)
\end{cases}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{13}{4}R^2-R^2\sqrt{3}\cos\alpha=2R^2(1-\cos 2\alpha)}\). To wraz ze wzorem na kosinus podwojonego kąta daje, że \(\displaystyle{ \frac{13}{4}-\sqrt{3}\cos\alpha=4(1-\cos^2\alpha)}\), tj. \(\displaystyle{ 4\cos^2\alpha-\sqrt{3}\cos\alpha-\frac{3}{4}=0}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{8}(1-\sqrt{5})}\) lub \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{8}(1+\sqrt{5})}\). Zauważmy, że obydwa otrzymane rozwiązania należą do przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\), więc mają sens odpowiadające im miary kątów \(\displaystyle{ \alpha}\) w trójkącie.
Wystarczy teraz podstawić otrzymane wartości \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) do równania \(\displaystyle{ x^2=\frac{13}{4}R^2-R^2\sqrt{3}\cos\alpha}\), w wyniku czego otrzymamy dwie różne wartości \(\displaystyle{ x}\).

[iskierka91]

Dziękuję przeogromnie!