Styczna do okręgu x � +y � =2 w punkcie P=(xo,yo) o dodatnich współrzędnych przecina osie układu w punktach A i B.
Dla jakiej wartości xo kwadrat długości odcinka AB jest najmniejszy? Znajdź środek odcinka AB.
Okrąg i styczna
-
Wildthinks
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 28 mar 2006, o 13:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 2 razy
-
Malkolm
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 6 lis 2005, o 20:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 12 razy
Okrąg i styczna
Zadanie optymalizacyjne.
Oznaczenia.
\(\displaystyle{ P : (x_{0},y_{0})}\) - punkt styczności.
\(\displaystyle{ y=ax+b}\) - styczna do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ P}\).
Stąd \(\displaystyle{ A : (-\frac{b}{a},0)}\) i \(\displaystyle{ B : (0,b)}\) są punktami przecięcia stycznej do okręgu z osiami układu współrzędnych - odpowiednio \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\).
Przy tych oznaczeniach kwadrat długości odcinka AB wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ (\frac{b}{a})^{2}+b^{2}}\).
Z drugiej strony wiemy, że:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x_{0}^2+y_{0}^2=2\\y_{0}=ax_{0}+b\end{array}}\).
Podobnie jak w zadaniu z postu mamy:
\(\displaystyle{ x_{0}^{2}+(ax_{0}+b)^{2}=2}\)
\(\displaystyle{ x_{0}^{2}(1+a^{2})+2abx_{0}+b^{2}-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4(-b^{2}+2+2a^{2})}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\), gdy \(\displaystyle{ b^{2}=2+2a^{2}}\).
Stąd kwadrat długości odcinka wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \frac{2+2a^{2}}{a^{2}}+2+2a^{2}}\).
Należy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(a)=\frac{2+2a^{2}}{a^{2}}+2+2a^{2}}\) dla\(\displaystyle{ a \in (-\infty,0)}\) i zbadać dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) przyjmuje najmniejszą wartość.
\(\displaystyle{ f(a)=2a^{2}+\frac{2}{a^{2}}+4}\)
\(\displaystyle{ f'(a)=4a-\frac{4}{a^{3}}=4\frac{(a^{4}-1)}{a^{3}}}\)
\(\displaystyle{ f'(a)>0}\) dla \(\displaystyle{ a (-1,0)}\)
\(\displaystyle{ f'(a) (-\infty,-1)}\)
\(\displaystyle{ f'(a)=0}\) dla \(\displaystyle{ a=-1}\)
W otoczeniu punktu \(\displaystyle{ a=-1}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem funkcja osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(-1)=8}\).
\(\displaystyle{ \lim_{a\to- }\ f(a)=\lim_{a\to- }\ 2a^{2}+\frac{2}{a^{2}}+4=\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{a\to 0^{-}}\ f(a)=\lim_{a\to 0^{-}}\ 2a^{2}+\frac{2}{a^{2}}+4=\infty}\).
Oznacza, to że funkcja osiąga najmniejszą wartość, gdy \(\displaystyle{ a=-1}\).
Zatem \(\displaystyle{ y=-x+2}\) - równanie stycznej do okręgu.
Stąd \(\displaystyle{ A : (2,0)}\) \(\displaystyle{ B : (0,2)}\) \(\displaystyle{ P : (1,1)}\) i jednocześnie punkt P jest środkiem odcinka AB.
Oznaczenia.
\(\displaystyle{ P : (x_{0},y_{0})}\) - punkt styczności.
\(\displaystyle{ y=ax+b}\) - styczna do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ P}\).
Stąd \(\displaystyle{ A : (-\frac{b}{a},0)}\) i \(\displaystyle{ B : (0,b)}\) są punktami przecięcia stycznej do okręgu z osiami układu współrzędnych - odpowiednio \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY}\).
Przy tych oznaczeniach kwadrat długości odcinka AB wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ (\frac{b}{a})^{2}+b^{2}}\).
Z drugiej strony wiemy, że:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x_{0}^2+y_{0}^2=2\\y_{0}=ax_{0}+b\end{array}}\).
Podobnie jak w zadaniu z postu mamy:
\(\displaystyle{ x_{0}^{2}+(ax_{0}+b)^{2}=2}\)
\(\displaystyle{ x_{0}^{2}(1+a^{2})+2abx_{0}+b^{2}-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4(-b^{2}+2+2a^{2})}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\), gdy \(\displaystyle{ b^{2}=2+2a^{2}}\).
Stąd kwadrat długości odcinka wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \frac{2+2a^{2}}{a^{2}}+2+2a^{2}}\).
Należy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(a)=\frac{2+2a^{2}}{a^{2}}+2+2a^{2}}\) dla\(\displaystyle{ a \in (-\infty,0)}\) i zbadać dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) przyjmuje najmniejszą wartość.
\(\displaystyle{ f(a)=2a^{2}+\frac{2}{a^{2}}+4}\)
\(\displaystyle{ f'(a)=4a-\frac{4}{a^{3}}=4\frac{(a^{4}-1)}{a^{3}}}\)
\(\displaystyle{ f'(a)>0}\) dla \(\displaystyle{ a (-1,0)}\)
\(\displaystyle{ f'(a) (-\infty,-1)}\)
\(\displaystyle{ f'(a)=0}\) dla \(\displaystyle{ a=-1}\)
W otoczeniu punktu \(\displaystyle{ a=-1}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem funkcja osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(-1)=8}\).
\(\displaystyle{ \lim_{a\to- }\ f(a)=\lim_{a\to- }\ 2a^{2}+\frac{2}{a^{2}}+4=\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{a\to 0^{-}}\ f(a)=\lim_{a\to 0^{-}}\ 2a^{2}+\frac{2}{a^{2}}+4=\infty}\).
Oznacza, to że funkcja osiąga najmniejszą wartość, gdy \(\displaystyle{ a=-1}\).
Zatem \(\displaystyle{ y=-x+2}\) - równanie stycznej do okręgu.
Stąd \(\displaystyle{ A : (2,0)}\) \(\displaystyle{ B : (0,2)}\) \(\displaystyle{ P : (1,1)}\) i jednocześnie punkt P jest środkiem odcinka AB.