Obwód trapezu z wpisanym okręgiem.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
mikszy5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 19 lis 2008, o 19:25
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Obwód trapezu z wpisanym okręgiem.

Post autor: mikszy5 »

Witam,

Zad.
W trapez o krótszej podstawie długości 7cm wpisano okrąg, którego punkt styczności z jednym ramieniem dzieli to ramię na odcinki długości 4cm i 9 cm. Oblicz obwód trapezu.

Niestety nie mogę sobie z tym poradzić, wypisałem sobie dane tzn. a=7cm c=4+9=13cm, zrobiłem rysunek, poprowadziłem wszystkie styczne i dwusieczne, ale nie mam pojęcia jak to ruszyć dalej.
Liczę na wskazówki.

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Obwód trapezu z wpisanym okręgiem.

Post autor: Sherlock »


Dwie wskazówki:
1. Własności stycznych do okręgu.
2. Własność czworokąta opisanego na okręgu.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Obwód trapezu z wpisanym okręgiem.

Post autor: anna_ »

Z tych wskazówek nic nie wychodzi, chyba , że ja czegoś nie widzę.
Trzeba wykorzystać podobieństwo trójkątów.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/05456d4bb53/


Trójkąt OBF jest podobny do trójkąta OFC
\(\displaystyle{ \frac{|OF|}{|BF|} = \frac{|CF|}{|OF|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{9} = \frac{4}{r}}\)
\(\displaystyle{ r=6}\)

Trójkąt AEO jest podobny do trójkąta DOG
\(\displaystyle{ \frac{|OE|}{|AE|} = \frac{|DG|}{|OG|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{x} = \frac{3}{r}}\)
\(\displaystyle{ x=12}\)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2011, o 17:55 przez anna_, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Obwód trapezu z wpisanym okręgiem.

Post autor: Sherlock »

Zgadza się, z pierwszej wskazówki wynika druga

Zadanie można policzyć też w ten sposób:

W pomarańczowym trójkącie prostokątnym z tw. Pitagorasa wyliczymy \(\displaystyle{ 2r}\) (wysokość trapezu):
\(\displaystyle{ (2r)^2=13^2-5^2}\)
\(\displaystyle{ 4r^2=144}\)
\(\displaystyle{ r=6}\)
W szarym trójkącie prostokątnym liczymy \(\displaystyle{ x}\) także z tw.Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (x+3)^2=(x-3)^2+(2r)^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+6x+9=x^2-6x+9+144}\)
\(\displaystyle{ 12x=144}\)
\(\displaystyle{ x=12}\)
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Obwód trapezu z wpisanym okręgiem.

Post autor: anna_ »

Miałam na myśli:
2. Własność czworokąta opisanego na okręgu.
W tym zadaniu nie korzysta się z tego, że suma przeciwległych boków jest równa.
ODPOWIEDZ