Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o kątach wpisanych.

gendion · Post autor: **gendion** » 25 wrz 2009, o 19:15

witam
w tym temacie
141707.htm
Kibu powiedział, że warunkiem wystarczającym na to, aby czworokąt dało się opisać na okręgu jest równość tamtych kątów.
Nie wiem jak to wykazać.
A może chodzi o jakieś zupełnie inną własność niż twierdzenie o kątach zewnętrznych opartych na tym samym łuku?

anna_ · Post autor: **anna_** » 25 wrz 2009, o 20:03

Kod: Zaznacz cały

http://pl.wikipedia.org/wiki/Okrąg_opisany_na_wielokącie

gendion · Post autor: **gendion** » 25 wrz 2009, o 20:39

tak, znam ten warunek.

Kibu nie miał racji, czy jak?

anna_ · Post autor: **anna_** » 25 wrz 2009, o 22:12

Według mnie trzeba najpierw udowodnić, że suma kątów przeciwległych czworokąta ABDE jeśt równa.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 26 wrz 2009, o 01:23

Udowodnimy, że równość kątów BAC i BDC (na rysunku 1 kąty \(\displaystyle{ a}\)) pozwala opisać okrąg na czworokącie ABCD.
1. Uzupełniamy kąty wierzchołkowe (rysunek 2).
2. Uzupełniamy kąty w trójkątach AEB i DEC (rysunek 3). Zauważamy, że trójkąty AEB i DEC są podobne (cecha kąt - kąt - kąt) zatem:
\(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|DE|}= \frac{|BE|}{|CE|}}\)
3. Powyższa równość oraz wspólny dla trójkątów AED i BEC kąt b pozwalają stwierdzić, że trójkąty AED i BEC są podobne (cecha bok - kąt - bok). Uzupełniamy kąty (rysunek 4)
4. \(\displaystyle{ d+e+f+a=a+e+f+d}\), suma miar kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa więc na czworokącie można opisać okrąg