trójkąt prostokątny - wykaż słuszność twierdzenia

[mizzrym]

1. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątna jest 4 razy większa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy większy od drugiego

[Qń]

Oznaczmy nasz trójkąt przez \(\displaystyle{ ABC}\), kąt prosty niech będzie przy \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ AB = 4 \cdot AC}\) oraz \(\displaystyle{ AD}\) niech będzie wysokością. Następujące trójkąty są podobne:
\(\displaystyle{ ABC \sim DAC \sim DBA}\)
w szczególności oznacza to, że:
\(\displaystyle{ 4=\frac{AB}{AC} = \frac{DA}{DC}=\frac{DB}{DA}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ DA = 4 \cdot DC, BD = 4\cdot DA}\)
a po wstawieniu pierwszej zależności do drugiej:
\(\displaystyle{ BD = 16 \cdot DC}\)
czego należało dowieść.

Q.