okrąg i koło

[tomi140]

dane są dwa okręgi O(A,R1) , O(B,R2) takie ,że :
a) \(\displaystyle{ R1=3k+1, R2=2k+3}\) \(\displaystyle{ \left|AB \right| = 6k-3}\)
b) \(\displaystyle{ R1=k+1 , R2=2k-2}\) \(\displaystyle{ \left|AB \right|= 4k-4}\)

określ położenie okręgu w zależności od parametru k.

[Pucman]

Założenia dla a)
\(\displaystyle{ R1 > 0 => k > -\frac {1}{3}}\)
\(\displaystyle{ R2 > 0 => k > -\frac {3}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| AB \right| > 0 => k > \frac {1}{2}}\)
Czyli \(\displaystyle{ k > \frac {1}{2}}\)

Zał. dla b)
\(\displaystyle{ R1 > 0 => k > -1}\)
\(\displaystyle{ R2 > 0 => k > 1}\)
\(\displaystyle{ \left| AB \right| > 0 => k > 1}\)
Czyli \(\displaystyle{ k>1}\)

Okręgi są rozłączne zew. gdy:
\(\displaystyle{ \left| AB \right|> R1 + R2}\), czyli
dla a) to jest \(\displaystyle{ 3k+ 1 + 2k + 3 < 6k - 3 => k>7}\)
dla b) \(\displaystyle{ k+ 1 + 2k - 2 < 4k - 4 =>}\)

Okręgi są styczne zew. gdy:
\(\displaystyle{ \left| AB \right|= R1 + R2}\), czyli
dla a) \(\displaystyle{ 3k+ 1 + 2k + 3 = 6k - 3 => k=7}\)
dla b) \(\displaystyle{ k+ 1 + 2k - 2 = 4k - 4 => k=3}\)

Okręgi przecinają się:
\(\displaystyle{ R1 - R2 <\left| AB \right|< R1 + R2}\)
a) \(\displaystyle{ \left|3k+ 1 - 2k - 3\right| < 6k - 3 < 3k+ 1 + 2k + 3 => \frac{5}{7}< k< 7}\)
b) \(\displaystyle{ \left|k + 1 - 2k + 2 \right|< 4k - 4 < 3k - 1 => \frac{7}{5}< k< 3}\)

Okręgi są styczne wew. gdy:
\(\displaystyle{ \left| AB \right|= \left|R1 - R2 \right| \neq 0}\)
a)\(\displaystyle{ \left|3k+ 1 - 2k - 3\right| = 6k - 3 => \frac{5}{7}=k}\)
b) \(\displaystyle{ \left|k + 1 - 2k + 2 \right|= 4k - 4 => \frac{7}{5}= k}\)

Okręgi są rozłączne wew.
\(\displaystyle{ \left| AB \right|\leqslant \left|R1 - R2 \right| \neq 0}\)
a)\(\displaystyle{ \left|3k+ 1 - 2k - 3\right| = 6k - 3 => \frac{5}{7}>k > \frac {1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \left|k + 1 - 2k + 2 \right|= 4k - 4 => \frac{7}{5}> k >1}\)

[tomi140]

oki, dzięki.