Trójkąt pitagorejski

[szymek]

Definicja. Trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi, nazywamy trójkątem pitagorejskim.

c) Uzasadnij, że jeśli długości boków trójkąta są róne \(\displaystyle{ p^{2}-q^{2}, 2pq, p^{2}+q^{2}}\), gdzie p i q są liczbami dodatnimi takimi, że p>q, to trójkąt ten jest prostokątny, a następnie znajdź długości pozostałych boków trójkąta pitagorejskiego, którego najkrótszy bok ma długość 13.

Próbowałem \(\displaystyle{ p^{2}-q^{2}=13}\) i rozwiązywać dalej, ale nie wyszło mi nic dobrego z tego. Z góry dziękuję za pomoc.

[Dasio11]

Pierwsze: Po prostu sprawdź, czy te liczby spełniają twierdzenie Pitagorasa.
\(\displaystyle{ p^2-q^2=(p+q)(p-q)}\)

Mamy rozkład \(\displaystyle{ 13}\) na dwa czynniki, czyli jeden z nich musi się równać jeden, drugi wiadomo. Układ równań, wyznaczamy \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\).