ziwazki miarowe miedzy odcinkami stycznych i siecznych

[Agata00000]

Są to zadania z CKE. Może ktoś już je przerabiał? Dla mnie kosmos,proszę o pomoc

Zadanie 1
W okrąg wpisano trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i przez wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) poprowadzono styczną do okręgu aż do przecięcia z przedłużeniem boku \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\).Z wierzchołków \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) opuszczono proste prostopadłe do stycznej, przy czym mniejsza z nich jest równa \(\displaystyle{ 6}\). Wiedzą, że \(\displaystyle{ |BC|=5}\) i \(\displaystyle{ |AD|=5 \sqrt{6}}\) , obliczyć pole trapezu utworzonego przez te proste prostopadłe, bok \(\displaystyle{ BC}\) i odcinek stycznej.

Zadanie 2
W trapezie prostokątnym, którego wysokość jest równa \(\displaystyle{ h}\), na boku nieprostopadłym do podstawy jako na średnicy opisano koło. Okazało się, że to koło jest styczne do przeciwległego boku prostopadłego trapezu. Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne są równe podstawom danego trapezu.

Zadanie 3
Z punktu \(\displaystyle{ A}\) leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną i sieczną do tego okręgu. Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie punktem styczności, a \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) punktami przecięcia siecznej i okręgu. Wykaż, że \(\displaystyle{ |AB| ^{2} =|AC| \cdot |AD|}\).

Zadanie 4
Przez punkt \(\displaystyle{ A}\) nie leżący na okręgu poprowadzono dwie proste. Jedna z nich przecina okrąg w różnych punktach \(\displaystyle{ B _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{1}}\) , a druga - w różnych punktach \(\displaystyle{ B _{2}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ |AB _{1} | \cdot |AC _{1} |=|AB _{2} | \cdot |AC _{2}|}\).

Zadanie 5
Przez końce \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) średnicy koła poprowadzono dwie cięciwy \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\). które przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\) leżącym wewnątrz koła. Wykaż, że \(\displaystyle{ |AB ^{2} |=|AC| \cdot |AP|+|BD||BP|}\).

[Pucman]

Ja narazie rozwiązałem zadanie 3.
To co mamy osiągnąc to \(\displaystyle{ |AB| ^{2} =|AC| \cdot |AD| <=> \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|AD|}{|AB|}}\)

Jak połączysz wszystkie punkty otrzymasz dwa trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABD}\).
Żeby otrzymać równość, którą mamy wykazać należy uzasadnić, że są one podobne.

Kąty \(\displaystyle{ BAC i BAD}\) są równe.
Kąty \(\displaystyle{ ABC i BDA}\) są równe, wynika to z twierdzenia, że Kąt dopisany i wpisany oparte na tym samym łuku mają miary równe.
Kąt \(\displaystyle{ ABD = 180 - - BDA - BAD}\) co równa się \(\displaystyle{ ACB}\)

Z cechy kąt, kąt, kąt stwierdzamy, że te trójkąty są podobne. Więc \(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|AD|}{|AB|}}\)

[Zen]

w zad. 1 czy pole tego trapezu wynosi 30 ?

[Adrian_1991]

jak na razie w zad. 1 też mi wyszło 30 -- 6 kwietnia 2010, 19:55 --jak na razie w zad. 1 też mi wyszło 30