Udowodnij, że... [z trapezem]

[Niezapomiinajka]

Udowodnij, że odcinek łączący środki ramion AD i BC trapezu ABCD ma długość \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\), (gdzie a i b to podstawy trapezu).

[Mycha88]

można to zrobić np w ten sposób:

zauważ, że ten odcinek dzieli wysokość na pół. Jeżeli narysujesz wysokość to powstanie Ci trójkąt prostokątny (oczywiście wysokość musi być narysowana np z lewej strony trapezu). Z twierdzenia pitagorasa można obliczyć ten mały odcinek na środku trapeza. Widzisz to? Ciężko się tłumaczy tak bez rysunku:) więc mamy z pitagorasa:

\(\displaystyle{ \frac{0,5h}{x}= \frac{h}{ \frac{a-b}{2} }}\)

z tego wyliczamy x \(\displaystyle{ x= \frac{a-b}{4}}\)

takich x mamy 2 na naszym odcinku i jeszcze długość b, więc ogólnie odcinek jest równy:

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{4} \cdot 2+b= \frac{a+b}{2}}\)

[Niezapomiinajka]

Czym jest x?

-- 18 wrz 2009, o 16:09 --

Z tej proporcji nie wyjdzie x=\(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\). Z ostatniego działania nie wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\).
Sposób rozwiązania jest właściwy, tylko ile będzie równy odcinek proporcjonalny do x, bo na pewno nie \(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\).

[piasek101]

@Mycha88 źle założył, że trapez jest równoramienny.

Poprowadź wysokości trapezu z obu wierzchołków katów rozwartych (typowy rysunek); wytnij z niego powstały prostokąt; zauważ, że odcinek (z) łączący środki boków trójkąta to połowa różnicy długości podstaw trapezu - zatem szukany w zadaniu to (z) + krótsza podstawa (którą to wyrzuciliśmy razem z prostokątem).

[Mycha88]

no tak, faktycznie to tylko dla równoramiennego. Obliczenia juz poprawiłam. Ogólnie równania były dobrze, tylko wyniki źle:) Udowodnić można jeszcze inaczej: z pól. Oznaczmy sobie ten odcinek łączący środki boków jako x.

Ogólny wzór na pole: \(\displaystyle{ P=\frac{(a+b)h}{2}}\)

odcinek x dzieli wyjściowy trapez na dwa trapezy o polach:
\(\displaystyle{ P_1= \frac{(x+b)h}{4}}\)
\(\displaystyle{ P_2= \frac{(a+x)h}{4}}\)

teraz porównajmy pola:
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)h}{2}= \frac{(x+b)h}{4}+ \frac{(a+x)h}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2a+2b=x+b+x+a}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{a+b}{2}}\)

[Game_Over]

\(\displaystyle{ P_1=\frac{(x+b)h}{4}}\) , \(\displaystyle{ P_2=\frac{(a+x)h}{4}}\)

- rozumiem że to zostało obliczone w założeniu że wysokości każdego z dwóch powstałych trapezów są równe czyli że \(\displaystyle{ h_1=\frac{h}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ h_2=\frac{h}{2}}\)

Skąd wiadomo że są równe ?
Pozdrawiam

[piasek101]

szukany jest || do podstaw - z Talesa to wynika - równość wysokopści też.