Witam serdecznie! Mam kilka zadań, których nie jestem w stanie rozwiązać.
zad.1
w trójkącie prostokątnym ABC, kąt A jest prosty, przyprostokątna AC ma długość 12cm. Odcinek DE prostopadły do przeciwprostokątnej BC, dzieli trójkąt na dwie figury o polach równych p1 = 6cm kwadratowych i p2 = 90cm kwadratowych. (sory ze tak pisze, ale nie potrafie sie obslugiwac...)
zad.2 w trojkacie prostokatnym stosunek przyprostokatnych jest rowny AC : AB = 5:12. Punkt D dzieli przeciwprostokątną BC na odcinki, których długości pozostają w stosunku CD : DB = 5:8. wiedząc, że punkt E należy do przyprostokątnej AB i ED jest prostopadłe do CB oblicz stosunek pola czworokąta AEDC do pola trojkąta EBD.
szukałem po forach ale nie nic nie znalazlem...
Pola trójkątów podobnych
-
Carlsbergize
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 14 wrz 2009, o 15:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: krosno
Pola trójkątów podobnych
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2009, o 15:49 przez czeslaw, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Komentarze na temat trudności zadań w tytule wiadomości są całkowicie zbędne.
Powód: Komentarze na temat trudności zadań w tytule wiadomości są całkowicie zbędne.
-
bayo84
- Użytkownik
- Posty: 564
- Rejestracja: 30 lip 2009, o 09:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 122 razy
Pola trójkątów podobnych
Zad. 1 jest chyba niekompletne.
zad.2
Ja tak to rozgryzlem:
\(\displaystyle{ P _{1}= \frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right|}\)
\(\displaystyle{ P _{2} = \frac{1}{2} \cdot \left|AB \right|^2 \cdot \frac{5}{12}}\)
\(\displaystyle{ P _{3} = \frac{1}{2} \cdot \left|AB \right|^2 \cdot \frac{5}{12} - \frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right|}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{P _{3} }{P _{1} } = \frac{ \frac{1}{2} \cdot \left|AB \right|^2 \cdot \frac{5}{12} - \frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right| }{\frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right|} = \frac{ \frac{1}{2} \cdot \left|AB \right|^2 \cdot \frac{5}{12} }{ \frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right| } -1}\)((**)
teraz dazymy do tego aby DB i DE uzaleznic od AB
Zacznijmy od DB:
\(\displaystyle{ \left|AB \right|^2+ \frac{25}{144} \cdot \left|AB \right|^2= \left|CB \right|^2}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left|CB \right|= \frac{5}{8} \cdot \left|DB \right| + \left|DB \right|}\)
Stad obliczylem, ze:
\(\displaystyle{ \left|DB \right| = \frac{2}{3} \cdot \left|AB \right|}\)
No i jeszcze DE - tutaj sprawa jest nieco bardziej skomplikowana...z nastepujaych rownan:
\(\displaystyle{ \left|ED \right|^2= \left|EB \right|^2- \left|DB \right|^2}\) (*)
\(\displaystyle{ \left|ED \right|^2 = \left|CE \right| ^2 - \left|CD \right| ^2}\)
\(\displaystyle{ \left|CE \right|^2 = \left|CA \right|^2+ \left|AE \right| ^2}\)
\(\displaystyle{ \left|AE \right| + \left|EB \right| = \left|AB \right|}\)
Z tych 4 rownan obliczylem:
\(\displaystyle{ \left|EB \right| = \frac{13}{18} \left|AB \right|}\)
Pozostalo z rownania(*)(po podstawieniu) obliczyc ED jako ulamek AB ---> podstawic wynik do (**) i mamy wynik poszukiwanego stosunku pol.
Oznaczenia:
P1 - pole trojkata DEB
P2 - pole trojkata CAB
P3 - pole czworokata CDEA
No, a jest jeszcze drugi sposob:
Trojkata DBE jest podobny do trojkata ABC (zasada kkk):
W takim razie wiemy, ze:
\(\displaystyle{ \frac{ \left|DB \right| }{ \left|AB \right| } = \frac{ \left|DE \right| }{ \left|CA \right| } = \frac{ \left|EB \right| }{ \left|BC \right| } = \frac{2}{3}}\)
Stad mozemy znalezc dlugosci odpowiednich bokow w zaleznosci od AB. I znalezc nasz stosunek k. Ten sposob jest prostszy.
zad.2
Ja tak to rozgryzlem:
\(\displaystyle{ P _{1}= \frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right|}\)
\(\displaystyle{ P _{2} = \frac{1}{2} \cdot \left|AB \right|^2 \cdot \frac{5}{12}}\)
\(\displaystyle{ P _{3} = \frac{1}{2} \cdot \left|AB \right|^2 \cdot \frac{5}{12} - \frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right|}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{P _{3} }{P _{1} } = \frac{ \frac{1}{2} \cdot \left|AB \right|^2 \cdot \frac{5}{12} - \frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right| }{\frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right|} = \frac{ \frac{1}{2} \cdot \left|AB \right|^2 \cdot \frac{5}{12} }{ \frac{1}{2} \cdot \left|DB \right| \cdot \left|DE \right| } -1}\)((**)
teraz dazymy do tego aby DB i DE uzaleznic od AB
Zacznijmy od DB:
\(\displaystyle{ \left|AB \right|^2+ \frac{25}{144} \cdot \left|AB \right|^2= \left|CB \right|^2}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left|CB \right|= \frac{5}{8} \cdot \left|DB \right| + \left|DB \right|}\)
Stad obliczylem, ze:
\(\displaystyle{ \left|DB \right| = \frac{2}{3} \cdot \left|AB \right|}\)
No i jeszcze DE - tutaj sprawa jest nieco bardziej skomplikowana...z nastepujaych rownan:
\(\displaystyle{ \left|ED \right|^2= \left|EB \right|^2- \left|DB \right|^2}\) (*)
\(\displaystyle{ \left|ED \right|^2 = \left|CE \right| ^2 - \left|CD \right| ^2}\)
\(\displaystyle{ \left|CE \right|^2 = \left|CA \right|^2+ \left|AE \right| ^2}\)
\(\displaystyle{ \left|AE \right| + \left|EB \right| = \left|AB \right|}\)
Z tych 4 rownan obliczylem:
\(\displaystyle{ \left|EB \right| = \frac{13}{18} \left|AB \right|}\)
Pozostalo z rownania(*)(po podstawieniu) obliczyc ED jako ulamek AB ---> podstawic wynik do (**) i mamy wynik poszukiwanego stosunku pol.
Oznaczenia:
P1 - pole trojkata DEB
P2 - pole trojkata CAB
P3 - pole czworokata CDEA
No, a jest jeszcze drugi sposob:
Trojkata DBE jest podobny do trojkata ABC (zasada kkk):
W takim razie wiemy, ze:
\(\displaystyle{ \frac{ \left|DB \right| }{ \left|AB \right| } = \frac{ \left|DE \right| }{ \left|CA \right| } = \frac{ \left|EB \right| }{ \left|BC \right| } = \frac{2}{3}}\)
Stad mozemy znalezc dlugosci odpowiednich bokow w zaleznosci od AB. I znalezc nasz stosunek k. Ten sposob jest prostszy.