Pole czworokąta

[cyryl5]

w trapezie równoramiennym którego podstawy maja długość a i b (a>b) kąt ostry zasną miarę alfa połączono odcinkami środki sąsiednich boków. oblicz pole powstałego czworokątna

[bayo84]

Sprobuj tak:
c - dlugosc ramienia trapezu
\(\displaystyle{ P _{t}}\) - pole trapezu
\(\displaystyle{ P _{1}}\) - pole trojkata o bokach 1/2 a , 1/2 c i kacie pomiedzy tymi bokami \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ P _{2}}\) - pole trojkata o bokach 1/2 b, 1/2 c i kacie pomiedzy tymi bokami \(\displaystyle{ 180 ^{o}-\alpha}\)
pole powstalego czworokata wynosi:
\(\displaystyle{ P _{cz} = P _{t}-2 \cdot P _{1}-2 \cdot P _{2}}\)
Z obliczeniem wysokosci trapezu oraz dlugosci jego ramienia nie powinienes miec problemow.
Pole trojkatow \(\displaystyle{ P _{1}}\) i \(\displaystyle{ P _{2}}\) oblicz z:
\(\displaystyle{ P _{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{2}c \cdot sin\alpha}\)
Dla \(\displaystyle{ P _{2}}\) analogicznie.
Jakbys mial z czyms problem to pisz.

[cyryl5]

bayo84, wez mi powiedz jak wysokosc bo ja zielony jestem

[bayo84]

Wiemy, ze:
\(\displaystyle{ a = b+2x}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{a-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{h}{x}}\)
Stad obliczamy h , a pozniej z sinusa kata alpha oblicz c.

[Jaworekk]

Powstaly czworokąt jest rombem. Pole rombu to:

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}d_{1}d_{2}}\)

gdzie d1 i d2 to jego przekatne. Jedna przekątna jest w polowie odlglosci miedzy podstawami a i b, czyli jej dlugosc to srednia arytmetyczna:

\(\displaystyle{ d_{1} = \frac{a+b}{2}}\)

druga przekatna to wysokosc trapezu, czyli:

\(\displaystyle{ d_{2} = h = \frac{a-b}{2}tg{\alpha}}\)

Calkowite pole to:

\(\displaystyle{ P = \frac{a^{2}-b^{2}}{8}tg{\alpha}}\)

[Kartezjusz]

gdzie d1 i d2 to jego przekatne. Jedna przekątna jest w polowie odlglosci miedzy podstawami a i b, czyli jej dlugosc to srednia arytmetyczna i :

\(\displaystyle{ d_{1} = \frac{a+b}{2}}\)

Nie wiem,czy te własności trapezu były dowodzone tutaj,a są ważne,zwłaszcza dla kolegi,bo będzie musiał wiedzieć skąd on je wziął . Musi dowieść,że nasz czworokąt ma jest rombem .Oprócz tego bardzo dobrze.
DOWÓD 1
Twierdzenie1.Czworokąt powstały z polączenia środków czworokąta jest równoległobokiem.
1. Niech środki boków AB,BC,CD,AD oznaczymy A',B',C',D'.
wtedt wiemy,że
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|A'B'|}= \frac{|AD|}{|A'D'|}= \frac{|BC|}{|B'C'|}= \frac{|CD|}{|C'D'|}= 2}\) Te zależności dają zadość tw.odwrotnemu do Talesa więc
\(\displaystyle{ |A'B'|| C'D'||BD}\) i \(\displaystyle{ B'C'||A'D'||AC}\)
Czyli jest równoległobokiem.
DOWÓD 2
Twierdzenie2.Prosta łącząca środki ramion trapezu jest równoległa do obu podstaw i ma długość \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\) .
1.Obróćmy nasz trapez do góry nogami i trapezy pierwotny i nowy niech przylegają ramieniem tej samej długości.
Otrzymamy równoległobok o bokach długości r i a+b (r długość ramienia,którym nie łączyliśmy)
Długość szukanego odcinka zostanie podwojona i nowy odcinek lączący środki równoległych boków równoległoboku (o długości r) jest równoległy do podstaw,bo jego końce są odległe o \(\displaystyle{ \frac{1}{2}r}\) od nich.Czyli nasz duży odcinek jest długości a+b.Więc i tę część twierdzenia mamy dowiedzioną
Na podstawie dowodów 1 i 2 mamy,że przekątne równoległoboku,którego pole mamy liczyć
są prostopadłe(jedna z nich jest wysokością trapezu ,a że ta jest prostopadła do podstaw ,a więc także do odcinka |B'D'| odcinek z dowodu drugiego,a zarazem druga przekątna).Jeśli równoległobok ma prostopadłe przekątne to jest rombem.

[bayo84]

Oczywiscie rozwiazanie Jaworkaa jest ok, ale wlasnie ze wzgledu na potrzebe dowodzenia tego, ze czworokat jest rombem czy nie lepiej zastosowac moja metode. Pytam tak z ciekawosci - nie chce dowodzic , ktora metoda jest lepsza, bo obie wydaja sie sluszne.