W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\), \(\displaystyle{ (AB \left| \right| CD )}\) poprowadzono przekątne \(\displaystyle{ AC}\)
i \(\displaystyle{ BD}\) które przecięły się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\) równe jest \(\displaystyle{ 18}\) a pole trójkąta \(\displaystyle{ CDS}\) równe jest \(\displaystyle{ 8}\).Oblicz pole trapezu.
Oblicznie pola trapezu
-
Jaworekk
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 13 wrz 2009, o 00:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakow
- Pomógł: 26 razy
Oblicznie pola trapezu
dla ulatwienia oznacze dlugosc podstawy AB po prostu jako AB i tak samo z CD. Wysokosc trojkata ABS niech bedzie \(\displaystyle{ h_{1}}\) a CDS \(\displaystyle{ h_{2}}\), które razem się sumują do wysokości trapezu.
mamy dwa równania na pola trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{1} = 18}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_{2} = 8}\)
po obustronnym podzieleniu:
\(\displaystyle{ \frac{AB}{CD}\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{9}{4}}\)
ale trojakty ABS i CDS sa podobne, bo maja wszystkie kąty takie same, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{AB}{CD}}\)
po wstawieniu do wczesniejszego:
\(\displaystyle{ \left(\frac{AB}{CD}\right)^{2} = \frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ AB = \frac{3}{2}CD}\)
\(\displaystyle{ h_{1} = \frac{3}{2}h_{2}}\)
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}(AB + CD)(h_{1}+h_{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}CD \cdot \frac{5}{2}h_{2} = \frac{25}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_{2} = \frac{25}{4} \cdot P_{CDS} = 50}\)
mamy dwa równania na pola trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{1} = 18}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_{2} = 8}\)
po obustronnym podzieleniu:
\(\displaystyle{ \frac{AB}{CD}\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{9}{4}}\)
ale trojakty ABS i CDS sa podobne, bo maja wszystkie kąty takie same, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{AB}{CD}}\)
po wstawieniu do wczesniejszego:
\(\displaystyle{ \left(\frac{AB}{CD}\right)^{2} = \frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ AB = \frac{3}{2}CD}\)
\(\displaystyle{ h_{1} = \frac{3}{2}h_{2}}\)
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}(AB + CD)(h_{1}+h_{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}CD \cdot \frac{5}{2}h_{2} = \frac{25}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_{2} = \frac{25}{4} \cdot P_{CDS} = 50}\)