Niech ABCD będzie dowolnym czworokątem wypukłym.Utwórzmy EFGH łącząc środki kolejnych boków czworokąta ABCD.Wykaż ze powstały czworokąt jest równoległobokiem a jego pole jest polowa czworokąta ABCD.
doszedłem do takiej sytuacji że: poprowadziłem przekatne czworokąta i kombinuje wtedy na podobieństwo trójkątów ale nic nie wychodzi;/
czworokąt wypukły
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
czworokąt wypukły
Podpowiedź do uzasadnienia podobieństwa masz podaną w linku.
Pole liczyłabym inaczej. (mniejsze trójkąty są podobne do większych w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))
\(\displaystyle{ P_{EBF}= \frac{1}{4}P_{ABC}}\)
\(\displaystyle{ P_{FCG}= \frac{1}{4}P_{DBC}}\)
\(\displaystyle{ P_{HGD}= \frac{1}{4}P_{ACD}}\)
\(\displaystyle{ P_{AEH}= \frac{1}{4}P_{ABD}}\)
\(\displaystyle{ P_{EFGH}= P_{ABCD}-(P_{EBF}+P_{FCG}+P_{HGD}+P_{AEH})=P_{ABCD}-(\frac{1}{4}P_{ABC}+\frac{1}{4}P_{DBC}+\frac{1}{4}P_{ACD}+\frac{1}{4}P_{ABD})=P_{ABCD}-\frac{1}{4}[(P_{ABC}+P_{ACD})+(P_{DBC}++P_{ABD})]=P_{ABCD}-\frac{1}{4}[P_{ABCD}+P_{ABCD}]=P_{ABCD}-\frac{1}{4}\cdot 2P_{ABCD}= \frac{1}{2}P_{ABCD}}\)
Pole liczyłabym inaczej. (mniejsze trójkąty są podobne do większych w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))
\(\displaystyle{ P_{EBF}= \frac{1}{4}P_{ABC}}\)
\(\displaystyle{ P_{FCG}= \frac{1}{4}P_{DBC}}\)
\(\displaystyle{ P_{HGD}= \frac{1}{4}P_{ACD}}\)
\(\displaystyle{ P_{AEH}= \frac{1}{4}P_{ABD}}\)
\(\displaystyle{ P_{EFGH}= P_{ABCD}-(P_{EBF}+P_{FCG}+P_{HGD}+P_{AEH})=P_{ABCD}-(\frac{1}{4}P_{ABC}+\frac{1}{4}P_{DBC}+\frac{1}{4}P_{ACD}+\frac{1}{4}P_{ABD})=P_{ABCD}-\frac{1}{4}[(P_{ABC}+P_{ACD})+(P_{DBC}++P_{ABD})]=P_{ABCD}-\frac{1}{4}[P_{ABCD}+P_{ABCD}]=P_{ABCD}-\frac{1}{4}\cdot 2P_{ABCD}= \frac{1}{2}P_{ABCD}}\)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2011, o 18:13 przez anna_, łącznie zmieniany 1 raz.