zadanie, pole rombu, twierdzenie Talesa

wlazlkotek · Post autor: **wlazlkotek** » 6 kwie 2006, o 22:02

W rąbie o boku 10 cm, wierzchołek D kąta rozwartego połączono ze środkami K i L boków przeciwległych. Oblicz pole rombu, jezeli pole trójkata DKL równa sie 36 cm kwadrat

caspian · Post autor: **caspian** » 7 kwie 2006, o 22:42

nie wiem, czy dla rąbu mogę zastosować wzory dotyczące rombu, ale jeśli tak to proszę:

\(\displaystyle{ x}\) - kąt ostry albo rozwarty

\(\displaystyle{ \mbox{[Pole rombu]}=10\cdot 10\cdot \sin x}\) (i)
i:
\(\displaystyle{ \mbox{[Pole rombu]}=\mbox{[Pole BKL]}+\mbox{[Pole AKD]}+\mbox{[Pole CLD]}+\mbox{[Pole KLD]}}\)
Pod pierwsze trzy pola podstawiam pola z wzoru: \(\displaystyle{ \mbox{[Pole trojkata]}=\mbox{[Bok1]}\cdot \mbox{[Bok2]}\cdot \sin \mbox{[Kat miedzy Bok1 a Bok2]}/2}\), od razu korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \sin x= \sin (180-x)}\), a pod czwarte z treści:
\(\displaystyle{ \mbox{[Pole rombu]}=62,5\cdot \sin x+36}\) (ii)
Po odjęciu stronami (ii) od (i) i przekształceniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin x=0,96}\)
Po podstawieniu do (i) wychodzi:
\(\displaystyle{ \mbox{[Pole rombu]}=96}\)

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 7 kwie 2006, o 23:01

Jesli nie zrobilem zadnego glupiego bledu, to informacja o dlugosci boku jest zbedna.

Z twierdzenia o linii srodkowej trojkata zastosowanego dla \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) mamy \(\displaystyle{ 2KL = AC}\).

Wiemy, ze linia ta dzieli wysokosc trojkata na dwie rowne czesci, wiec \(\displaystyle{ 4EB=BD}\).

Niech \(\displaystyle{ BD=d_2}\) oraz \(\displaystyle{ AC=d_1}\).

\(\displaystyle{ [KLD] = \frac{\frac{d_1}{2}\cdot \frac{3d_2}{4}}{2}}\), a \(\displaystyle{ [ABCD] = \frac{d_1d_2}{2}}\), czyli dostajemy prosto \(\displaystyle{ [ABCD]=96}\).