Promień okręgu wpisanego w trapez.

[valdorane]

Witam,
proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania, którego treść jest taka:

Na okręgu opisano trapez, którego pole \(\displaystyle{ P = 100cm^{2}}\). Ramiona trapezu tworzą z dłuższą podstawą kąt \(\displaystyle{ 30^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ 45^\circ}\). Oblicz długość promienia koła.

Dane:
\(\displaystyle{ P=100cm^{2} \\
\alpha = 30^\circ \\
\beta = 45^\circ \\
h = 2r}\)

Szukane:
\(\displaystyle{ r = ?}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} (a+b)h}\)

I jadąc układem równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 100 = \frac{1}{2}( b + h + h \sqrt{3} + b )h \qquad |\cdot 2 \\
2h + h \sqrt{2} = b + b + h + h \sqrt{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 200 = 2bh + h^{2} + h^{2} \sqrt{3} \\
2h + h \sqrt{2} = b + b + h + h \sqrt{3} \end{cases}}\)


Mam nadzieje, że zrozumieliście mniej więcej moje "bazgroły" i jesteście w stanie mi pomóc, za co serdecznie dziękuję. Chciałbym jeszcze dodać, ze jestem skory do dyskusji na temat tego zadania.
Z góry dziękuje i pozdrawiam.

[Sherlock]

Przepraszam, ale nie rozszyfrowałem Twojego zapisu, może nie rób konkurencji Latex'owi

Jeśli możemy wpisać okrąg w ten trapez to:
\(\displaystyle{ x+h+x+ h \sqrt{3}=2h+ h\sqrt{2}}\)
Drugie równanie to:
\(\displaystyle{ 100= \frac{x+h+x+ h\sqrt{3}}{2} \cdot h}\) (zamień licznik zgodnie z powyższą równością i od razu wyliczysz \(\displaystyle{ h}\)), jak zauważyłeś \(\displaystyle{ h=2r}\)

[valdorane]

Sam doszedłem do takiego układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 100 = \frac{1}{2} (x + h + h \sqrt{3} + x ) \cdot h | \cdot 2 \\ 2h + h \sqrt{2} = x + x + h + h \sqrt{3} \end{cases}}\)

idąc dalej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 200 = 2xh + h^{2} + h^{2} \sqrt{3} \\ 2h + h \sqrt{2} = x + x + h + h \sqrt{3} \end{cases}}\)

i tutaj zaczynają się schodki, ponieważ moja wiedza nie pozwala mi obliczyć tego układu dalej, co pomogłoby mi w rozwiązaniu zadania.

Jest ktoś w stanie pomóc mi, tudzież nakierować mnie na tryb rozwiązania tego zadania? Byłbym bardzo wdzięczny.

PS. ten Latex wcale taki straszny nie jest.

[Sherlock]

Sam doszedłem do takiego układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 100 = \frac{1}{2} (x + h + h \sqrt{3} + x ) \cdot h | \cdot 2 \\ 2h + h \sqrt{2} = x + x + h + h \sqrt{3} \end{cases}}\)

Tak jak pisałem, dokonaj podstawienia, w miejsce zawartości nawiasu w:
\(\displaystyle{ 100 = \frac{1}{2} (x + h + h \sqrt{3} + x ) \cdot h}\)
wstaw \(\displaystyle{ 2h + h \sqrt{2}}\) i wylicz \(\displaystyle{ h}\)