okrąg wpisany w trapez równoramienny

[Maurezen]

Wykaż, że jeżeli w trapez równoramienny o podstawach długości \(\displaystyle{ a,b}\) oraz wysokości \(\displaystyle{ h}\) można wpisać okrąg, to zachodzi równość \(\displaystyle{ a*b= h^{2}}\)

[aga92]

Niech dłuższa podstawa ma długość \(\displaystyle{ b}\), a długość krótszej to \(\displaystyle{ a}\).

W czworokąt można wpisać okrąg \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) suma długości naprzeciwległych boków jest taka sama. Stąd ramię trapezu ma długość \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\).

Narysuj wysokości trapezu wychodzące z wierzchołków przy górnej podstawie. Zauważ, że dolna podstawa została podzielona na odcinki o długościach: \(\displaystyle{ \frac{b-a}{2}}\), \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b-a}{2}}\). Rozważmy teraz trójkąt, który powstał w wyniku dorysowania wysokości. Ma on boki o długościach:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\) - przeciwprostokątna (ramię trapezu)
\(\displaystyle{ h}\), \(\displaystyle{ \frac{b-a}{2}}\) - dwie przyprostokątne

Z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (\frac{b-a}{2})^{2} + h^{2} = (\frac{a+b}{2})^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2} = (\frac{a+b}{2})^{2} - (\frac{b-a}{2})^{2} = a \cdot b}\)

[Maurezen]

dzięki!!