Stosunek promieni okręgów wpisanych w trójkąty.

[Sever]

9.36 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 12 cm i 5cm. Przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą, która podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz stosunek długości promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty.

Rozwiązałem to i wyszło mi inaczej niż w odpowiedziach:

a - przeciwprostokątna
\(\displaystyle{ 5^{2}}\)+\(\displaystyle{ 12^{2}}\)=\(\displaystyle{ a^{2}}\)
\(\displaystyle{ a=13}\)
\(\displaystyle{ x}\) - jedna część przeciwprostokątnej
\(\displaystyle{ 13-x}\) - druga część przeciwprostokątnej
\(\displaystyle{ y}\) - bok wspólny dla obu trójkątów(zawiera się w poprowadzonej prostej)
Korzystamy z tego że obwody tych 2 trójkątów są równe i mamy:
\(\displaystyle{ 5 + (13-x) + y = 12+x+y}\), czyli
\(\displaystyle{ x=3}\) i \(\displaystyle{ 13-x=10}\)
\(\displaystyle{ p, p_{1}, p_{2}}\) - połowa obwodu trójkątów równa \(\displaystyle{ 7,5 + \frac{1}{2}y}\)
Skoro obwody tych trójkątów są równe to połowy ich obwodów też są równe, czyli \(\displaystyle{ p_{1}=p_{2}=p}\)
\(\displaystyle{ r_{1}=\frac{P_{1}}{p}}\)

\(\displaystyle{ r_{2}=\frac{P_{2}}{p}}\), czyli

\(\displaystyle{ \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{P_{1}}{P_{2}}}\)

Obliczam pola z wzoru Herona i wychodzi:
\(\displaystyle{ P_{1}=5\sqrt2, P_{2}=6}\)

Czyli stosunek \(\displaystyle{ \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{5\sqrt2}{6}}\), a odpowiedź powinna być \(\displaystyle{ \frac{10}{3}}\)

Gdzie robię błąd? Bardzo prosze o pomoc.

[Afish]

Dobrze myślisz, tylko źle wyliczyłeś pola trójkątów.

Oblicz pole dużego trójkąta - powinno wyjść 30
Następnie wyliczymy sobie sinus kąta między przyprostokątną o długości 12 i przeciwprostokątną. Korzystamy ze wzoru na pole:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} *12*15*sin\alpha = 30}\)
Następnie wyliczamy pole małego trójkącika (o bokach 12,3,y) i odejmujemy od pola dużego trójkąta. Potem porównujemy.

[Sever]

Nie rozumiem po co mamy obliczać \(\displaystyle{ sin\alpha}\). Przecież go znamy. Jest równy \(\displaystyle{ \frac{5}{13}}\) I nie wiem skąd się u Ciebie wzięła liczba 15(przeciwprostokątna ma wartość 13). Nadal więc nie widzę swojego błędu...i nie wiem jak to poprawnie rozwiązać. Dzięki w kazdym razie za chęci i proszę nadal o pomoc.