Prostokątny trawnik otoczony jest drogą o stałej szerokości. Pola poowierzchni trawnika i drogi są równe. Jakie mogą być wymiary trawnika i szerokości drogi, jeśli wszystkie one mają być liczbami naturalnymi?
Oraz dla prawdziwych mistrzów- Te samo zadanie, tylko w 3d (nie prostokąt, tylko prostopadłościan)
Prostokąty-równe wymiary
-
mastermaniek
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 16:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
-
mcbob
- Użytkownik
- Posty: 479
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poland
- Pomógł: 69 razy
Prostokąty-równe wymiary
\(\displaystyle{ a,b}\)-wymiary trawnika
\(\displaystyle{ d}\)-szerokość drogi
\(\displaystyle{ P _{trawnika}=P _{drogi}}\)
\(\displaystyle{ ab=(b+2d)(a+2d)-ab}\)
\(\displaystyle{ 4d ^{2}+2(a+b)d-ab=0}\)
Wychodzi że \(\displaystyle{ d= \sqrt{a ^{2}+6ab+b ^{2}}-(a+b)}\)
Więc \(\displaystyle{ a ^{2}+6ab+b ^{2}}\) musi być kwadratem liczby naturalnej
Mamy też \(\displaystyle{ ab=2d(a+b+2d)}\) skąd widać że a i b to nie mogą być dwie liczby nieparzyste
\(\displaystyle{ d}\)-szerokość drogi
\(\displaystyle{ P _{trawnika}=P _{drogi}}\)
\(\displaystyle{ ab=(b+2d)(a+2d)-ab}\)
\(\displaystyle{ 4d ^{2}+2(a+b)d-ab=0}\)
Wychodzi że \(\displaystyle{ d= \sqrt{a ^{2}+6ab+b ^{2}}-(a+b)}\)
Więc \(\displaystyle{ a ^{2}+6ab+b ^{2}}\) musi być kwadratem liczby naturalnej
Mamy też \(\displaystyle{ ab=2d(a+b+2d)}\) skąd widać że a i b to nie mogą być dwie liczby nieparzyste