Długość przekątnych rombu

[julkaaa]

Witam wszystkich!
Nie moge poradzić sobie z takim zadankiem, wie ktoś może jak je rozwiązać?
Zadanie:
Pole rombu wynosi 3, obwód 15, znajdź długość przekątnych.
Bardzo proszę o pomoc, z góry bardzo serdecznie dziekuje.
Pozdrawiam.

Nie zakładaj dwóch takich samych tematów, bo jedynym tego skutkiem będzie irytacja obsługi (w tym i mnie - biednego moda w tym dziale), a szansa że dostaniesz odpowiedź dąży do 0. Tamten topic usuwam, ten zostawiam i zamieszczam pełne rozwiązanie zadania żeby nie było problemu - DEXiu

[Tomasz Rużycki]

Wystarczy twierdzenie Pitagorasa + wzor na pole -> \(\displaystyle{ 2S=d_1d_2}\) + to, ze przekatne rombu dziela sie w polowie, uloz odpowiedni uklad rownan, poradzisz sobie.

[DEXiu]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) długości połówek przekątnych (oczywistym jest, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy). Ponieważ romb ma wszytkie boki równej długości, a mamy dany obwód to z łatwością wyliczmy, że bok ma długość \(\displaystyle{ \frac{15}{4}}\). Po drodze zastosujemy też wzór podany przez Tomka (w nieco innej formie). Tworzymy układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=(\frac{15}{4})^{2}\\xy=\frac{3}{2}\end{array}}\)
Drugie równanie przemnażamy przez 2, dodajemy do pierwszego i zwijamy ze wzoru na kwadrat sumy do postaci: \(\displaystyle{ (x+y)^{2}=\frac{273}{16}}\), skąd \(\displaystyle{ x+y=\frac{\sqrt{273}}{4}}\). Otrzymujemy nowy układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x+y=\frac{\sqrt{273}}{4}\\xy=\frac{3}{2}\end{array}}\)
Z pierwszego równania wyliczamy dowolną zmienną (na przykład \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{273}}{4}-x}\)), wstawiamy do drugiego i po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę dostajemy śliczne równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, na przykład takie:
\(\displaystyle{ x^{2}-\frac{\sqrt{273}}{4}x+\frac{3}{2}=0}\)
po rozwiązaniu którego dostajemy parę rozwiązań postaci:
\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{273}-\sqrt{177}}{8},\,\frac{\sqrt{273}+\sqrt{177}}{8})}\)
Oczywiście nie zakładaliśmy, która z połówek przekątnych (x czy y) jest dłuższa, zatem możemy przyjąć dowolnie - rozwiązanie jest symetryczne.
A więc szukane długości przekątnych to:
\(\displaystyle{ (d_{1},\,d_{2})=(\frac{\sqrt{273}-\sqrt{177}}{4},\,\frac{\sqrt{273}+\sqrt{177}}{4})}\)

Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem w obliczeniach - sprawdź! Metoda sama w sobie jest dobra, tylko kwestia sprawdzenia poprawności działań

[julkaaa]

dzięki za szczególowe rozwiązanie, ale nie rozumiem jednego: "drugie równanie przemnazamy przez 2 , dodajemy do pierwszego i zwijamy ze wzoru na kwadrat" czy mógłbyś to rozwinąć, bo resztę juz rozumiem.

[DEXiu]

Proszę bardzo
Mamy na początku taki układzik równań (rzeczy nieistotne pomijam):
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=blablabla\\xy=blebleble\end{array}}\)
Pomnóżmy obustronnie drugie z tych równań przez 2 (zaraz się dowiesz, po co). Otrzymamy taki układzik:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=blablabla\\2xy=2\cdot{blebleble}\end{array}}\)
Teraz dodajmy te równania stronami. Otrzymamy takie równanie:
\(\displaystyle{ x^{2}+2xy+y^{2}=blablabla+2\cdot{blebleble}}\)
Teraz (korzystając z dobrze znanego z gimnazjum wzoru \(\displaystyle{ (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}\) - tylko skorzystamy z niego "w drugą stronę") powyższe równanie przyjmie postać:
\(\displaystyle{ (x+y)^{2}=blablabla+2\cdot{blebleble}}\)
Ot, cała filozofia. Jeśli teraz obustronnie to spierwiastkujemy, a otrzymane równanie wstawimy do naszego pierwotnego układu w miejsce pierwszego równania, to otrzymamy nieco prostszy układ równoważny pierwotnemu

[julkaaa]

no ok, ale znowu rozumiem do połowy:)
Skoro mamy juz postać:
(x+y) � =(15/4) � +2*3/2
To jak całość spierwiastkujemy to chyba nie wyjdzie x+y=15/4, bo co sie stało z 2*3/2( u ciebie 2* blebleble)

[DEXiu]

Ups Faktycznie. Mała gafa Dlatego mówiłem żeby nie do końca wierzyć moim "obliczeniom" Już poprawiłem. Wyszły co prawda "troszkę" bardziej ruskie wyniki, ale byćmoże znowu się gdzieś walnąłem