Pole trapezu równoramiennego i promień koła.

[resp]

Cześć wszystkim, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań:

1. W trapezie równoramiennym o wysokości 6 cm przekątne przecinają się pod kątem 120 stopni i dzielą się w stosunku 1:2. Oblicz pole tego trapezu. Rozważ dwa przypadki.

2. W okrąg wpisano kwadrat, a na tym okręgu opisano trójkąt równoboczny. Różnica długości boku trójkąta i boku kwadratu równa jest 10. Oblicz promień koła.

Pozdrawiam. ; )

[silicium2002]

Zauważ że wysokości małych trójkątów również dzielą się w stosuku 1:2 tych o podstawach będących podstawami trapezu. Dalej zauważ że masz tam trójkąty o kątach 60 30 90 a potem juz łatwo

Ukryta treść:    

wynik jesli sie nier myle to: \(\displaystyle{ 36 \sqrt{3}}\)

[Dasio11]

Pierwsze:    

dobry wynik.

Drugie:    

Jaki masz wzór na długość boku kwadratu wpisanego w okrąg względem promienia? A na długość boku trójkąta równobocznego opisanego na okręgu? Odejmij i ułóż równanie.

[resp]

Zauważ że wysokości małych trójkątów również dzielą się w stosuku 1:2 tych o podstawach będących podstawami trapezu.

Masz na myśli te dwa trójkąty przy podstawach powstałe w wyniku poprowadzenia obu przekątnych? Wysokości owych trójkątów są długości 2 cm i 4 cm?

Dalej zauważ że masz tam trójkąty o kątach 60 30 90 a potem juz łatwo

O których trójkątach mówisz i w jaki sposób to wywnioskowałeś?


P.S. Wiem, wiem, nie jest ze mnie wielki matematyk, ale w końcu forum jest po to, by pytać, prawda? ; )

[Dasio11]

Chodzi o trójkąty przy podstawach. Jeśli podzielisz każdy na dwa równe poprzez narysowanie wysokości trapezu przechodzącej przez punkt przecięcia przekątnych, otrzymasz wyżej wspomniane trójkąty typu \(\displaystyle{ 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}}\). Z podobieństwa znasz stosunek wysokości mniejszego do większego trójkąta, z własności trójkątów prostokątnych - obie podstawy. Wtedy można policzyć pole.

[resp]

Chodzi o trójkąty przy podstawach. Jeśli podzielisz każdy na dwa równe poprzez narysowanie wysokości trapezu przechodzącej przez punkt przecięcia przekątnych, otrzymasz wyżej wspomniane trójkąty typu \(\displaystyle{ 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}}\). Z podobieństwa znasz stosunek wysokości mniejszego do większego trójkąty, z własności trójkątów prostokątnych - obie podstawy. Wtedy można policzyć pole.

Hmm... Czyli długości podstaw mam policzyć posługując się Tw. Pitagorasa?

[silicium2002]

Zauważ że wysokości małych trójkątów również dzielą się w stosuku 1:2 tych o podstawach będących podstawami trapezu.

Masz na myśli te dwa trójkąty przy podstawach powstałe w wyniku poprowadzenia obu przekątnych? Wysokości owych trójkątów są długości 2 cm i 4 cm?

Dalej zauważ że masz tam trójkąty o kątach 60 30 90 a potem juz łatwo

O których trójkątach mówisz i w jaki sposób to wywnioskowałeś?


P.S. Wiem, wiem, nie jest ze mnie wielki matematyk, ale w końcu forum jest po to, by pytać, prawda? ; )

Tak wysokości to 2 i 4 cm. A reszte dasio11 juz chyba wytłumaczył. Jeszcze jakieś pytania??

[resp]

Jeśli chcesz to odpowiedz jeszcze na moje poprzednie pytanie.

[Dasio11]

Nie można użyć twierdzenia Pitagorasa, gdyż znamy długość tylko jednego boku. Znamy też kąty, i dzięki temu możemy posłużyć się własnościami trójkąta o kątach \(\displaystyle{ 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}}\)

[resp]

To własność mówiąca o tym, że przyprostokątne w takim trójkącie są tej samej długości, a przeciwprostokątna to długość przyprostokątnej razy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)? Z tego wynika, że podstawy to: 4cm i 8cm; a wysokość wynosi 6cm, czyli pole będzie równe 36cm \(\displaystyle{ ^{2}}\). Skąd więc wynik 36\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)?

[Dasio11]

Nie ten trójkąt. Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) to długość boku naprzeciw kąta o mierze \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\), to długości pozostałych boków są równe \(\displaystyle{ a \sqrt{3}, \ 2a}\)

[resp]

Wielkie dzięki za pomoc. ; )

Drugie:    

Jaki masz wzór na długość boku kwadratu wpisanego w okrąg względem promienia? A na długość boku trójkąta równobocznego opisanego na okręgu? Odejmij i ułóż równanie.

Mógłbyś to rozjaśnić? Wiem tylko, że połowa przekątnej tego kwadratu będzie równa promieniowi koła na nim opisanego. Przekątna w kwadracie to \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\), czyli promień będzie równy połowie \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\). Co zrobić dalej?