suma przekątnych czworokąta

[adacho90]

Wykazać, że suma przekątnych dowolnego czworokąta o bokach 48,49,51,52 jest większa od 100.

[Elminster]

Zauważmy, że wewnątrz naszego czworokąta można zbudować kwadrat o boku 48 i na pewno jego przekątne będą krótsze od przekątnych danego czworokąta.

Przekątna naszego kwadratu ma oczywiście długość \(\displaystyle{ 48 \sqrt{2}}\), a suma obydwu przekątnych: \(\displaystyle{ 96 \sqrt{2} = \sqrt{18432} > \sqrt{10000} = 100}\)

Zatem skoro suma długości przekątnych kwadratu jest większa niż 100, to tym bardziej suma przekątnych czworokąta jest większa niż 100, co kończy dowód.

[Zordon]

Zauważmy, że wewnątrz naszego czworokąta można zbudować kwadrat o boku 48

głowy bym nie dał

[adacho90]

nie wiem jak pokazać, że da się na pewno zbudować taki kwadrat

[Zordon]

nie wiem jak pokazać, że można zbudować taki kwadrat...

gorzej jakby Ci się udało Bo to oczywiście nieprawda, że zawsze można.

[adacho90]

ale pomysł był ciekawy

[Zordon]

rozważmy odpowiedni czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i punkt przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ S}\), przyjmijmy, że \(\displaystyle{ AB=51}\), a \(\displaystyle{ CD \neq 48}\) (tzn. jest równe 49 bądź 51), łatwo wykazać, że zawsze można w taki sposób ponazywać wierzchołki, żeby tak było.

mamy z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ AS+BS>AB=51}\)
\(\displaystyle{ CS+DS>CD \ge 49}\)

dodając stronami mamy tezę.

[adacho90]

łatwo wykazać, że zawsze można w taki sposób ponazywać wierzchołki, żeby tak było.

hm jaK?

Ale sądzę, że pomysł z o znaczeniem pktu przecięcia przekątnych S i zastosowaniem parę razy nierówności trójkąta tak czy siak prowadzi do celu.

[Zordon]

łatwo wykazać, że zawsze można w taki sposób ponazywać wierzchołki, żeby tak było.

hm jaK?

sprawa sprowadza się do udowodnienia, że zawsze naprzeciwko jednego z boków o długości 51 jest bok długości większej niż 48, a to przecież jest oczywiste skoro jest tylko jeden bok o długości 48.

[adacho90]

chciałem napisać boki 48, 49, 51, 52, a napisałem dwa boki 51 i nawet nie zauważyłem, przepraszam... ale myślę, że teraz już sobie z tym poradzę-- 27 sierpnia 2009, 13:37 --wydaje mi się, że wystarczy zastosować nierówność trójkąta dla wszystkich możliwych par boków i dla każdej pary dodać stronami...

[Zordon]

chciałem napisać boki 48, 49, 51, 52, a napisałem dwa boki 51 i nawet nie zauważyłem, przepraszam... ale myślę, że teraz już sobie z tym poradzę

-- 27 sierpnia 2009, 13:37 --

wydaje mi się, że wystarczy zastosować nierówność trójkąta dla wszystkich możliwych par boków i dla każdej pary dodać stronami...

no teraz to już jest oczywiste jak było 48, 49, 51, 51 to sprawa była trudniejsza

[adacho90]

z tym że jak jest para 48 i 49 to trzeba rozważać drugą parę, tzn 51 i 52, bo to daje silniejszą nierówność, tamta nie wystarcza. dziękuję za pomoc i przepraszam za tę pomyłkę. zresztą rozwiązanie przypadku 48,49,51,51 też się przyda.

[Elminster]

nie wiem jak pokazać, że można zbudować taki kwadrat...

gorzej jakby Ci się udało Bo to oczywiście nieprawda, że zawsze można.

Wiedziałem, że coś poszło nie tak. Przepraszam za podanie fałszywego rozwiązania.