Pięciokąt - dowód

[mcmcjj]

Uzasadnij, że w dowolnym pięciokącie wypukłym długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości boków pozostałych.

[mathX]

Boki: \(\displaystyle{ a,b,c,d,e}\)
Dowód nie wprost:

\(\displaystyle{ a=b+c+d+e}\)

W takim przypadku łatwo zauważyć, że wszystkie te boki zawierają się w jednej prostej. Nie jest to już pięciokąt, gdyż nie ma wnętrza.

PS. To jest dość analogiczne do 'nierówności trójkąta'.

[Inkwizytor]

Rozpatrujemy sytuację względem najdłuższego boku. Tzn. czy jest on krótszy od sumy pozostałych?
Dlaczego tylko to trzeba rozpatrzeć? Bo rozpatrywanie względem każdego innego jest trywialne. Po jednej stronie nierówności będziesz mieć jakąś długość (nie największą) po drugiej stronie sumę gdzie przynajmniej jeden ze składników sam w sobie jest większy.

Szeregujemy długości nierosnąco
- jeśli pierwszy element tego "ciągu" (najdłuższy bok) jest równy drugiemu (czyli istnieją przynajmniej dwa boku najdłuższe) to znowu oczywiste bo otrzymamy \(\displaystyle{ a<a+b+c+d}\) czyli\(\displaystyle{ 0<b+c+d}\)co jest zawsze prawdą
- najdłuższy bok jest jeden czyli \(\displaystyle{ a>b \ge c\ge d\ge e}\) a więc trzeba udowodnić: \(\displaystyle{ a<b+c+d+e}\)

Naprzeciwko najdłuższego boku (a) o końcach w D i E, leży wierzchołek A. Utwórz trójkąt z przekątnych AD, AE oraz z boku a. Z nierówności trójkątów (trzech powstałych) da się to uzasadnić. Dasz radę?

[mcmcjj]

nie bardzo :/

[Zordon]

można to bardzo łatwo udowodnić dla wszelkich wielokątów przez indukcję (po ilości boków), bazą jest nierówność trójkąta.