Okrąg wpisany w trójkat
Okrąg wpisany w trójkat
Ramię trójkąta równoramiennego ma długość b, kat przy podstawie ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Okrąg wpisany w trójkat
Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza podstawę trójkąta. Mamy \(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{b}=\cos\alpha}\), skąd \(\displaystyle{ a=2b\cos\alpha}\).
Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie i ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}b^2\sin(\pi-2\alpha)=\frac{1}{2}b^2\sin 2\alpha}\).
Z innego wzoru na pole trójkąta wynika natomiast, że \(\displaystyle{ P=\frac{a+2b}{2}r}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt. Stąd \(\displaystyle{ r=\frac{b^2\sin 2\alpha}{a+2b}=\frac{b^2\sin 2\alpha}{2b(1+\cos\alpha)}=\frac{b\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\).
Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie i ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}b^2\sin(\pi-2\alpha)=\frac{1}{2}b^2\sin 2\alpha}\).
Z innego wzoru na pole trójkąta wynika natomiast, że \(\displaystyle{ P=\frac{a+2b}{2}r}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt. Stąd \(\displaystyle{ r=\frac{b^2\sin 2\alpha}{a+2b}=\frac{b^2\sin 2\alpha}{2b(1+\cos\alpha)}=\frac{b\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\).