długości boków..

[agata27]

długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. oblicz sinus jednego z kątów ostrych.

[bayo84]

Oznaczmy nasze boki jako a,b,c
\(\displaystyle{ a = x}\),
\(\displaystyle{ b = x \cdot q}\)
\(\displaystyle{ c = x \cdot q^2}\)
Wiemy, ze mamy dwa katy ostre \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \beta}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{1}{q^2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{b}{c} = \frac{1}{q}}\)

[kaszubki]

krótsza z przyprostokątnych - a
dłuższa przyprostokątna - b
przeciwprostokątna - c
ilorac c.g - q
\(\displaystyle{ c=bq=aq^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2} \Leftrightarrow a^{2}+a^{2}q^{2}=a^{2}q^{4}}\). \(\displaystyle{ a \neq 0}\), więc możemy podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ a^{2}}\).
\(\displaystyle{ 1+q^{2}=q^{4} \Leftrightarrow -q^{4}+q^{2}+1=0}\). Wprowadźmy zmienną t równą \(\displaystyle{ q^{2}}\). \(\displaystyle{ -q^{4}+q^{2}+1=0 \Leftrightarrow -t^{2}+t+1}\). Liczymy deltę:
\(\displaystyle{ \delta=1-(-1*1*4)=5}\). Zatem t wynosi \(\displaystyle{ \frac{-1- \sqrt{5} }{-2}= \frac{ \sqrt{5}+1}{2}}\), czyli q jest równe \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{ \sqrt{5}+1}{2}}}\)
Sinusy kątów ostrych wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{a}{c}}\) i \(\displaystyle{ \frac{b}{c}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{q}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{q^{2}}}\).