równania okręgu i nierówności koła

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 30 mar 2006, o 18:12

1.Znajdź środki i promienie okręgów i kół:
\(\displaystyle{ a)x^2+(y+1)^2=4\\b)(x-1)^2+y^2\leq 3\\c)(x-2)^2+(y+2)^2=9\\d)x^2+y^2-2x+2y+2=0}\)

2.Zbadaj, czy punkt P leży wewnątrz koła, czy na zewnątrz koła, czy też na okręgu tego koła:
\(\displaystyle{ a)P=(-3,5), (x-4)^2+y^2\leq16\\b)P=(0,-1), x^2+y^2\leq2\\c)P=(2,1), (x-1)^2+(y+1)^2\leq5\\d)P=(-1,0), x^2+y^2-x-y\leq0}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 mar 2006, o 18:36

1.a)O=(0,-1), r=2
b)O=(1,0), r= √3
c)O=(2,-2), r=3
d)x� + y� -2x + 2y + 2 =(x-1)� + (y+1)�=0, O=(1,-1), r=0?
2a)x=-3, y=5.
(-3-4)� + 5� =49+25=74>16, czyli leży poza kołem. Pozostałe podobnie.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 30 mar 2006, o 18:44

mógłbym prosić jakiś dokładniejszy sposób rozwiązania? Żebym zrozumiał jak się to rozwiązuje

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 mar 2006, o 18:47

Które? To pierwsze, czy to drugie?

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 30 mar 2006, o 18:49

może po przykładzie z każdego.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 mar 2006, o 19:04

1. Równanie kanoniczne okręgu:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
a,b - współrzędne środka okręgu, r- promień
Jeżeli mamy np. \(\displaystyle{ x^2 - 8x + y^2 + 4y=190}\), to przekształcamy równanie do kanonicznego:
\(\displaystyle{ x^2 - 8x + y^2 + 4y=190\\(x-4)^2+(y+2)^2-16-4=190\\(x-4)^2+(y+2)^2=210}\)

2. Tutaj w miejsce x,y wstawiasz współrzędne punktu, otrzymujesz \(\displaystyle{ (x_1-a)^2+(y_1-b)^2=z}\).
\(\displaystyle{ x_1,y_1}\)-współrzędne punktu, a,b - srodek okręgu. Jeżeli \(\displaystyle{ z=r^2}\), to punkt leży na okręgu, jeżeli \(\displaystyle{ zr^2}\), to punkt leży na zewnątrz okręgu (koła).

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 30 mar 2006, o 19:10

no ale jak w 1 znaleźć ten promień i środek??
wogóle zacznijmy od tego: są dwa równania do opisania okręgu tak??
(x-a) � +(y-b) � =r � - to jest kanoniczne nie??
x �+y �-2ax-2by+c=0 - to nie wiem jak się nazywa
dobrze mówię??

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 mar 2006, o 19:16

\(\displaystyle{ x^2+(y+1)^2=4\\(x-0)^2+(y-(-1))^2=4\Rightarrow a=0, b=-1, r^2=4, r=2}\)

x �+y �-2ax-2by+c=0

- to nie ma nazwy, tylko, że czasami występuje zamiast kanonicznego i trzeba je przekształcić do kanonicznego (i tam niekoniecznie może być 2, może być np. takie: \(\displaystyle{ x^2+\frac{4}{5}x-y^2-122y=999}\)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 30 mar 2006, o 19:20

Adams pisze:\(\displaystyle{ x^2+(y+1)^2=4\\(x-0)^2+(y-(-1))^2=4\Rightarrow a=0, b=-1, r^2=4, r=2}\)

z jakiego to wzoru jest \(\displaystyle{ x^2+(y+1)^2=4}\)??

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 mar 2006, o 19:23

Ten twój pierwszy przykład nie?:P

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 30 mar 2006, o 19:27

ok sorki:D
ale chyba zrozumialem
czyli w pierszym środek to O=(0,-1)?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 mar 2006, o 19:31

Tak:D

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 30 mar 2006, o 19:34

a 2a.
(-3-4)^2+5^2

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 mar 2006, o 19:40

Tak, a jak zachodzi równość, to leży na okręgu koła.

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 30 mar 2006, o 19:42

czyli w pierwszym nie lezy?